一 : 关于四则混合运算教学的思考及学生常见错误分析与对策
混合运算初步教学阶段，教学由百以内加减法组成的两步式题、由表内乘除法组成的两步式题、很简单的乘加（减）与有小括号的两步式题。在这一环节中，四则混合运算教学有三个特点：一是以 口算为主；二是解题时只要求写出两步式题的最后结果；三是辅助相关知识的教学，如乘加（减）两步式题能 帮助学生了解相邻两句乘法口诀之间的联系。二 : 56四则运算介绍及定律1
计算问题解题原理思维及方法
小学数学中在数的问题有以下3种算术：计数，计算，数论
计数问题有以下方法:加法原理，乘法原理，排列与组合法，捆绑法，插板法，枚举法，排
除法，对应法，树形图法，归纳法，整体法，递推法，容斥原理和几
何图形中的计数；
数论问题有以下方法：奇偶数论，平方数论，费尔马定理，中国剩余定理，韩信点兵原理及
其同余数周期应用，整数拆分；
考虑到现在三年级了，我们这2课主要讲解计算问题：
混合运算，数学计算公式原理，换元法概念，凑整法概念，定义新运算，数的整除余数，速算与巧算。 1.四则运算
?四则运算：加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算.(高级运算如平方，次方，数根，微分，积分等不讲) ?运算顺序：只有一级运算时，从左到右计算；有两级运算时，先乘除，后加减。有括号时，先算括号里的；有多层括号时，先算小括号里的。要是有平方，先算平方。在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大。然后从高级到低级。
?表示方法①脱式计算
脱式计算是，即递等式计算，把计算过程完整写出来的运算，也就是脱离竖式的计算。在计算混合运算时，通常是1步计算1个算式(逐步计算，等号不能写在原式上），要写出每1步的过程。一般来说，等号要往前，不与第一行对齐。示例：
1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9]
=1+2×5÷5×[16÷8×9]
=1+2×1×[2×9]
=1+2×18
=1+36
=37
②横式计算 示例：
1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9] =1+2×5÷5×[16÷8×9] =1+2×1×[2×9] =1+2×18 =1+36=37
?运算意义和运算规律
?口算引入：①8＋3×7 ②9×2＋4×3 ③6×（50－46）和6×50-6×46 ④36÷3－5
⑤63÷9×6 ⑥（48＋32）＋5 ⑦（48＋32）×5和5×48+5×32 ⑧（25×4）
×5和25×5×4 ⑨60÷4÷5和60÷（5×4）
向孩子提问：以上各式中都含有哪些运算？它们的运算顺序是什么？
使孩子明确：当只有加减或乘除法时，按从左到右的顺序计算；
当既有乘除法又有加减法，要先算乘法或除法，再算加法或减法；
如果有小括号，先算括号内后算括号外。明确运算法则！！！
?学习新知：
1.例1：计算74＋100÷5×3向孩子提问：
①这道题包含哪些运算？
②按照以前学习的运算顺序应该先算什么？再算什么？
③你能按照这道题的运算顺序读题吗？
提示：7 4加10 0除以5所得的商再乘3的积，和是多少？
④将上题变成74十100× 3÷5和74— 100 × 3 ÷5两题
提问：谁能按照运算顺序读出题来？该先算什么再算什么？为什么？
⑤先说出下面每道题的运算顺序，再计算。
65－6×4÷2 38+56÷7×3
引导孩子思考：通过演算这几道混合运算式题，你有什么发现？
使学生明确：在一道既有乘除法又有加减法的混合式题里，应先算乘除法，后算
加减法；乘除连在一起，或加减连在一起，要从左往右依次计算。
2.例2：计算（440－280）×（300—260）（加深难度
440×300-440×260－280×300＋280×260,让孩子总结出来）
①孩子自读题目：440减280的差乘300减260的差，积是多少？
②引导孩子思考：这道题含有哪些运算，与前边的习题比较有什么不同？
应该怎样计算？
③学生试做。可能出现2种不同解法，板贴出来：
（440－280） ×（300—260） （440－280）×（300－260）
=160×（300－260） =160×40
=160×40 =6400
=6400（引入440×300-440×260－280×300＋280×260计算）
让孩子比较评议以上2种解法，哪种解法更简便？
提问：看到这道题的简便解法你联想到什么吗？
④教师让学生先按照运算顺序用数学用语读题再独立完成。
（59+21）×（96÷8） （220－100）÷（15×2）
提问：通过计算这些道题，你又有什么新的发现吗？
?巩固提高：
①计算下面各题（试着用术语读出下面各题）
700－8×5×4 （275－35）÷（17＋43）
480÷（96÷16＋6） （15×40—360）÷6
注意强调运算顺序和书写格式。要明确：括号里有两级运算，同样先算乘除法，
后做加减法，小括号要照抄下来。
?课堂小结：要完成一道混合运算，它的计算步骤是：
①审题，看清运算符号、数字、有没有小括号，确定先算什么，再算什么。
②计算。
③检验，包括运算顺序，计算是否正确。
?布置作业 ①14+16×4－50 ②74+（96÷6－8）③72－45+121÷11
④2520÷18×（806－799）（没有学过多位除法的用分解法）
⑩教学目标
①使学生进1步掌握含有二级运算的混合式题的运算顺序，学会计算含有
乘除混合以及带有小括号的3步式题。
②培养学生迁移类推的能力，提高计算能力。
③培养学生的学习兴趣和敢于探索的科学精神，训练学生养成认真审题、
仔细验算的良好习惯。
教学重点
使学生掌握混合运算顺序，能熟练地进行计算。
教学难点
帮助学生利用知识的迁移，探索混合运算的运算顺序。
2.小学数学运算法则：
?整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位
进一。（说明引入十进制和二进制区别，以及60进制区别）
?整数减法计算法则：相同数位对齐，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，
和本位上的数合并在一起，再减。
?整数乘法计算法则：先用1个因数每一位上的数分别去乘另1个因数各个数位上的数，
用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把
各次乘得的数加起来。（示例1234×4321）
?整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如
果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的
上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数
要小于除数。（示例1313÷13）
?小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积
的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。（示
例0.11×0.12，也可以用人民币的钱数引入）
?除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数
的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就
在余数后面添“0”，再继续除。（示例0.1÷5，同
样可以引入人民币钱数）
?除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向
右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整
数的除法法则进行计算。（只作简单说明，有兴趣可以深
讲）
?同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。（示例
1111 和 2222
?异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
3131 （示例 ＋ 和－ ） 4242
?带整数分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起
5335来。(示例1＋2和2 －1 ) 6446
⑴分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
335 （示例×12和× ） 446
⑵分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数
35 （示例 ÷ ） 46
3.数学运算定律：
?加法交换律：2个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
?加法结合律：3个数相加，先把前2个数相加，再加上第3个数；或者先把后2个数相加，再和第1个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
?乘法交换律：2个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
?乘法结合律：3个数相乘，先把前2个数相乘，再乘以第3个数；或者先把后2个数相乘，再和第1个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)
?乘法分配律：2个数的和与1个数相乘，可以把2个加数分别与这个数相乘再把2个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
?减法的性质：从1个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
4.A速算与技巧：
例1 2×4×5×25×54=(2×5)×(4×25)×54 (利用了交换律和结合律)
=10×100×54=54000
例2 54×125×16×8×625=54×(125×8)×(625×16) (利用了交换律和结合律) =54×1000×10000=540000000
例3 5×64×25×125 （将64分解为2、4、8的连乘积是关键1步）
=5×(2×4×8)×25×125=(5×2)×(4×25)×(8×125)=10×100×1000=1000000 例4 37×48×625=37×(3×16)×625（注意37×3=111）=(37×3)×(16×625) =111×10000=1110000
例5 27×25+13×25，=(27+13)×25（逆用乘法分配律这样做叫提公因数）=40×25=1000 例6 123×23+123+123×76=123×23+123×1+123×76=123×(23×1+76)=123×100 =12300（注意123=123×1;再提公因数123）
例7 81+991×9(把81改写叫分解因数，为9×9是为了下1步提出公因数9)
=9×9+991×9=(9+991)×9 =1000×9=9000
例8 111×99=111×(100-1)=111×100-111=11100-111=10989
例9 23×57-48×23+23=23×(57-48+1)=23×10=230
例10 求1+2+3+?+24+25的和. 解：此题是求自然数列前25项的和.
方法1：利用上一讲得出的公式 和=(首项+末项)×项数÷2 1+2+3+?+24+25 =(1+25)×25÷2=26×25÷2=325
56四则运算介绍及定律1_四则运算法则
方法2：把2个和式头尾相加(注意此法多么巧妙
!)
想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?
例11 求8+16+24+32+?+792+800的和. 解：可先提公因 8+16+24+32+?+792+800 =8×(1+2+3+4+?+99+100)=8×(1+100)×100÷2=8×5050=40400
例12 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?
解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、?、第25排的顺序写出来，必是1个等差数列.那么第1排有多少个座位呢?因为：第2排比第1排多两个座位，2=2×1第3排就比第1排多四个座位，4=2×2第4排就比第1排多六个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多4八个座位，48=2×24.所以第1排的座位数是：70-48=22.再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=(22+70)×25÷2=92×25÷2=1150. B速算与巧算
5.趣味数学数数与计算解析1
56四则运算介绍及定律1_四则运算法则
数数与计算解析2-----等式加减法
例1 大、小二数之和等于10，之差等于2，求二数.解：依题意，列等式，并把等式两边分别相加
.
得：大数=12÷2=6 小数=6-2=4.
例2 已知：□+△=10 □-△=2 求：□=?△=?
解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有
得：□=12÷2=6 再将□代入(1)式 得：6+△=10
①[注]+)表示等式两边分别相加.∴ △=10-6=4
例3 已知：□+□+△=16 □+△+△=14 求：□=?△=?
解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有
或3×(□+△)=30 得□+△=10. (3)
根据等式两边分别相减，结果仍相等，有
进1步(3)式+(4)式即
得□=12÷2=6 把□的值代入(4)式： 得6-△=2 得△=6-2=4.
例4 已知：□+□+△+△+△=21 □+□+△+△+△+△+△=27 求△=?
解：将2个等式改写为 2×□+3×△=21 (1) 2×□+5×△=27 (2)
(2)-(1)得： 2×△=27-21=6 得△=6÷2=3.
例5 小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱?
解：先列出下列等式：1支铅笔+2块橡皮=24 (1) 1支铅笔-2块橡皮=4 (2)
(1)+(2)： 2支铅笔=28 1支铅笔=14(分)=1角4分.
例6 在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分?
解：列出下列等式：小玲+小军=195 (1) 小玲+小方=198 (2) 小军+小方=193 (3)将3个等式的左边和右边各项分别相加，得：2×(小玲+小军+小方)=586
即小玲+小军+小方=293 (4) 由(4)式-(1)式得 小方=293-195=98
由(4)式-(2)式得 小军=293-198=95 由(4)式-(3)式得 小玲=293-193=100 可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.
⒍计算问题解题原理、思维以及方法
1.数学计算公式-常用公式
2.换元法的概念
解数学题时，把某个式子看成1个整体，用1个变量式去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。还原的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移值新对象的只是背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元、等值非等值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用1个字母来代替它从而简化问题，当然有的时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
A.局部换元法：例 计算11+12+13+1+11+12+13+2+11+12+13+3(利用局部换元) 11+12+13=26=a 1+2+3=6=b
3×a+b=3×26+6=78+6=84
其余换元法在初高中使用，这里不讲！
3.凑整法的概念
3.1加减法中的凑整法概念
加减法的速算与巧算中主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千?的数，再将各组的结果求和（差）。主要涉及的几种计算方法：（1）分组凑整法 （2）加补凑整法 （3）基准数法 （4）位值原理法
A.分组凑整法：例1.3125+5431+2793+6875+4569
解：原式=(3125+6875)+(4569+5431)+2793=22793
B.加补凑整法: 例 198+2999+39997=（200+3000+40000）-（2+1+3）=43200-6=43194
C.基准数法：例 （4942+4943+4938+4939+4941+4943）÷6=4941 （基准数是4940）
D.位置原理法：例 123+234+345+456+567+678+789
=(100+20+3)+(200+30+4)+(300+40+5)+(400+50+6)+(500+60+7)+(600+70+8)+(700+80+9) =（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+9）
=2800+350+42=3192
3.2乘除法中的凑整法
在乘除法当中，我们首先要熟练的掌握乘除运算定律、性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件、选用合理、灵活的计算方法。计算方法：（1）拆并法（2）特殊数的速算
A.拆并法：例 ①16×75×45=（75×8）×（2×45）=600×90=54000
②329×125=329×(125×8)÷8=329×1000÷8=329000÷8=41125
3.3凑整（特殊数的速算概念）
被乘数与乘数的十位数字相同，个位数字互补，这类式子我们成为“头相同、尾互补”型 被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同、这类式子我们成为“头互补、尾相同”型 对于计算这2类题目，有非常简捷的速算方法，分别为“同补”速算法和“补同”速算法 “同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”
“补同”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”
两位数速算技巧：
原理：设两位数是分别是:10A+B, 10C+D，其中积为S，根据多项式展开得如下：
（10A+B）×(10C+D)=10A×10C+10A×D+10C×B+B×D 而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化式子，从而快速得出结果。
注：下文中：“- -”代表十位和个位，因为两位数的十位数得数后面是2个零，请孩子不要忘了，前积就是前2位，后积就是后2位，中积就是中间2位，满十前一，不足补零。
A乘法速算
一:前数相同的
1.1 十位数是1，个位互补，即A=C=1 ,B+D=10 S=(10+B+D)×10+B×D
方法:百位为2，个位相乘得数为后积，满十前一；
例：13×17=221（其中13+7=20，3×7=21）
1.2十位数是1，个位不互补，即A=C=1 ,B+D≠10 S=(10+B+D)×10+B×D
方法:乘数的个位与被乘数相加,得数位前积;两数的个位相乘,得数为后积;满十前一.
56四则运算介绍及定律1_四则运算法则
例: 15×17=255(其中15+7=22，5×7=35,划线上2和3相加)
1.3 十位相同，个位互补，即A=C ,B+D=10 S=A×(A+1)×10+B×D
方法：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；个位数相乘，得数为后积。 例：56×54=3024（其中（5+1）×5=30，6×4=24）
1.4十位相同，个位互补，即A=C ,B+D≠10 S=A×(A+1)×10+B×D
方法1：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；尾乘尾，得数为后积；尾尾相加，看比十大几或小几，大几就加几个头乘10，反之小几，就是小几就减几个头乘10.
例：67×64=4288（其中（6+1）×6=42，4×7=28，7+4=11，11-10=1，1×6=6，6×10=60，4228+60=4288）
方法2：头头相乘，得数为前积；两尾数和与头相乘，得数为中积，满十前一；两尾数相乘，得数为后积。
例： 67×64=4288（其中6×6=36,(7+4)×6=66,7×4=28）
二：后数相同的
2.一个位是1，十位互补，即B=D=1,A+C=10,S=10A×10C+101
方法：十位与十位相乘，得数为前积；加上101，划线1要前进1.
例：81×21=1701（其中8×2=16,101,划线1要前进1）
2.两个位是1，十位不互补，即B=D=1,A+C≠10,S=10A×10C+10A+10C+1
方法：十位数乘积，加上十位数之和，得数是前积；个位为1.
也可以这样说：头头相乘是前积；头头相加是中积，满十前一；个位数是1。 例：71×91=6461（其中7×9=63，7+9=16，划线1进上去，个位数是1）
2.3 个位是5，十位互补，即B=D=5,A+C=10,S=10A×10C+25
方法：十位数乘积，加上个位数，得数为前积，25为后积
例:35×75=2625
2.四个位是5，十位不互补，即B=D=5,A+C≠10,S=10A×10C+525
方法：头头相乘，得数为前积；两十位数和与个位相乘，得数为中积，满十进一；
两尾数相乘，得数为后积。
例：75×95=7125（其中7×9=63；(7+9)×5=80,划线8上进；5×5=25）
2 2.五个位相同，十位互补，即B=D,A+C＝10,S=10A×10C+100B+B
方法：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积.
例：86×26=2236 （其中8×2+6=22，6×6=36）
2 2.六个位相同，十位不互补，即B=D,A+C≠10,S=10A×10C+100B+100D+B
方法1：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积；再看看
头头相加比十大几或小几，大几就加上几个尾乘10，小几反之亦然。
方法2：头乘头是前积；两头之和乘尾乘10，与尾乘尾（尾平方）之和，得数
是后积。
例：73×43=3139（其中7×4+3=31；3×3=9，7+4-10=1，1×3×10=30，30+9=39，
划线部分组成了后积）
另解释:70×40=2800 (7+4)×3×10+3×3=339,2800+339=3139 三：特殊类型：
3.11个数头尾相同，另1个数头尾互补
方法：互补的那个数头加1之和与另1个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）
乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积,没有十位用0补。
例：66×37=2442（其中（3+1）×6=24;6×7=42）
例：11×37=407（其中（3+1）×1=4;1×7=7,没有十位用0补）
3.21个数头尾相同，另1个数头尾不互补
方法：非互补的那个数头加1之和与另1个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）
乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积；没有十位用0补，再看看
那个非互补那个数头尾相加之和比十大几或小几，大几就加上几个相同
数（头尾相同的数）的数字乘10，反之亦然。
例：38×44=1632+40=1672（其中（3+1）×4=16；8×4=32；（3+8-10）×4
×10=40;1632+40=1672）
3.31个数头尾不相同，另1个数头尾互补
方法：头尾互补数的头数加1之和与头尾不相同数的头相乘，得数为前积；
两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补；再看看头尾不同的数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘10，反之亦然。
例:46×75=3530-80=3450(其中(4+1)×7=35;5×6=30;5-7=-2,意思是尾比
头少了2，2×4×10=80，多了几加上，少了几减去，3530-80=3450)
3.4 1个数头比尾少1，另1个数头尾之和是9
方法：头比尾少1数的头与凑9数的尾数的补数相乘，得数为前积；凑9
数的头数加1的和与头比尾小1的数的尾数的补数之积，得数为后积，
没有十位用0补。
例：67×36=2412（其中6×（10-6）=24，10-6就是36尾数6的补数；（3+1）
×（10-7）=12，3+1是36的头数加1，10-7就是67的尾数7的补数。）
3.5 2个数头头不同，尾尾互补（要先确定乘数与被乘数）
方法：被乘数的头加1的和与乘数的头之积，得数是前积；尾与尾之积，
得数为后积；再看被乘数头比乘数的大几或小几，大几就加几个乘数
的尾乘10，反之亦然。
例：74×56=4024+（7-5）×6×10=4144（其中（7+1）×5=40；4×6=24）
3.6 两数头头差1，尾尾互补
方法：大数的头和大数头之积与1的差，得数为前积；大数的尾和大数的
尾之积，它们积的整百补数就是后积。
例：24×36=864（其中3×3-1=8；100-6×6=64）
3.7 近100的两位数算法（确定乘数与被乘数）
方法：被乘数与乘数的整百补数之差，得数为前积；两数整百补数之积，得
数为后积，没有满十补0，满100进1）
例：93×91=8463（其中93-（100-91）=84；（100-93）×（100-91）=63）
3.8 头互补，尾不同（确定乘数与被乘数）
方法：头头之积与乘数尾之和，得数为前积；尾尾之积，得数为后积，没有
满10补0，再看看被乘数尾比乘数的尾大几或小几，小几就减去几个
乘数头乘10，反之亦然。
例：22×81=1702+80=1782
4.定义新运算
基本概念:定义1种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后
按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
5.数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果1个整数a，除以1个自然数b，得到1个整数商c，而且没有余数，
a那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a（或 ）。 b
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
6.余数及其应用
基本概念:对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q??r，且0<R<B,那么R叫做A
除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。< q =“”> 0＜R<B,那么R
叫做A除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。
余数的性质:①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。
7.19.余数、同余与周期
一、同余的定义:①若2个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知3个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作
a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质:①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，
a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a≡b(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识:①若A=a×b，则M=MAa×bnn=（M） ②若B=c+d则M=M=M×M abBc+dcd
四、被3、9、11除后的余数特征：
①1个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或
（mod 3）；
②1个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个
偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理:如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a≡1(mod p)。中国剩余定理，费尔马小定理及韩信点兵原理属于数论概念，这里不进行详细探讨！ p-1
56四则运算介绍及定律1_四则运算法则
练习题
1. 速算与巧算（例题特别多，方法已经说明，自己练习）
一、直接写出计算结果：
① 1000-547
② 100000-85426
③ 11111111110000000000-1111111111
④ 78053000000-78053
二、用简便方法求和：
①536+（541+464）+459
② 588＋264＋148
③ 8996＋3458＋7546
④567+558+562＋555＋563
三、用简便方法求差：
① 1870-280-520
② 4995-（995-480）
③ 4250-294＋94
④ 1272-995
四、用简便方法计算下列各题：
① 478-128+122-72
② 464-545＋99+345
③ 537-（543-163）-57
④ 947+（372-447）-572
五、巧算下列各题： ① 996＋599-402
② 7443＋2485＋567＋245 ③ 2000-1347-253+1593
④3675-（11+13+15＋17＋19）
三 : [转帖] Poisson分布函数的计算过程以及在足球分析中的运用案
[转帖] Poisson分布函数的计算过程以及在足球分析中的运用案例 [复制链接]
发表于 05-12-26 11:41 |只看该作者 |倒序浏览四 : 分数的四则运算
【教学内容】p97页分数四则运算，练习十九1—5。【教学要求】1、复习分数四则运算的意义，理解分数四则运算的意义与整小数四则运算意义的联系与区别。2、复习分数四则运算的计算法则，能正确运用四则运算的计算法则进行计算。3、复习分数四则混合运算。【教学重点】分数四则运算的意义与法则。【教学难点】分数四则运算的意义。【教学过程】一、计算。 —+— 12×— —×——-— 12÷— —÷—1、说说分数加、减法的意义，并说说前两式意义。2、怎样进行分数加减法计算。3、说说分数乘法的意义，整理如下：分数乘以整数 —×12 表示12个—是多少。整数乘以真分数 12×— 表示12的—是多少。分数乘以真分数 —×— —的—是多少。一个数乘以带分数 —×1— 表示—的1—倍是多少。4、说说分数除以的意义。5、说说分数加、减法的计算法则。同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减，先通分，再按同分母方法计算。6、说说分数乘除法计算方法。分数乘法，分子相乘作分子，分母相乘作分母。分数除法，乘以除数的倒数。二、口算。 —+— —－— 24×— —×——+1— 2－1— —×— 1÷—1—+0.25 4—－1.6 3.2×— —÷0.51+10% 1-1% 0.1×20% —÷25%三、先说说运算顺序，再计算。 2—－1—＋1.5 17÷4.25－—×—(—＋1—×—) ÷2— 8.2－[1—+（0.75－—）]四、下面的计算应用了哪些运算定律。 3×（—+—）+2—= 3×—+3×—+2—= 1—+1—+1—= 1—+2—+1—= 4+1—= 5—五、作业练习十九1—5题。
五 : 分数四则混合运算（一）
课题一：分数四则混合运算（一）（a）教学内容教科书第59页的例1、例2及相应的“做一做”，练习十五的第1～5题．教学目的使学生掌握分数四则混合运算的顺序，会进行分数四则混合运算．教具准备投影仪．教学过程一、复习计算下面各题．（1）207＋25×16 （2）314－〔（98＋168）÷34〕先让学生独立计算，同时指定两名学生在黑板上板演．完成后进行评定，并说说自己是怎么算的．然后再提问：整数四则混合运算的运算顺序是什么？通过复习，使学生明确：在整数四则混合运算中，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的．二、新课1．导入．教师：刚才我们复习了整数四则混合运算．今天我们进一步学习分数四则混合运算．（板书课题．）然后指出：在分数四则混合运算中，它的运算顺序和整数四则混合运算相同．2．教学例1．出示例题：计算＋÷．教师：这个算式里含有几级运算？（有两级运算．）应该先算什么，再算什么？指名回答，使学生明确应该先算除法，再算加法．然后教师引导学生进行计算．板书算式：＋÷教师：第一步要先算除法“÷”应该怎么办？指名学生回答：根据分数除法的计算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数．接着让全体学生共同叙述，教师在原式的下面板书：＝＋×．教师设问：接下来该怎么算？然后让学生打开教科书，继续把例1做完，完成后．集体订正．3．教学例2．出示例题：计算÷[（＋）×]．提问：在含有括号的算式中，应该怎样计算？学生：应该先算小括号里面的，再算中括号里面的．教师引导学生进行计算．板书算式：÷[（＋）×]．教师：第一步要算什么？学生：要算小括号里面的“＋”．让学生说算式，教师板书：＝÷[（＋）×]．然后引导学生根据运算顺序，求出小括号里面的数，于是得到第二步：＝÷[×]．教师设问：下面该怎样算呢？然后让学生打开教科书，继续把例2做完．在学生计算时，教师应注意巡视，随时发现问题，给予个别的辅导和纠正，完成后，进行集体订正．4．做第76页上半部分的“做一做”．教师：第一小题含有几级运算？应该先算什么，后算什么．指名学生回答：这道题含有两级运算，应该先算乘法，后算减法．教师：第二小题含有中括号和小括号，应该怎样计算？指名学生回答：应该先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的．然后，让学生各自在练习本上计算．教师注意巡视，随时发现问题，随时给予指导．做完后集体订正．三、课堂练习1．做练习十五的第1题．让学生独立做在各自的练习本上，教师行间巡视．完成后集体订正．2．做练习十五的第4题．可以让学生根据框图，先分步列式计算，再列成一个综合算式．通过这样的练习渗透一些程序思想．3．做练习十五的第5题．先引导学生复习所示图形的名称及其表面积计算公式，然后让学生做在练习本上，教师巡视．完成后集体订正．四、作业练习十五的第2、3题． 本文标题：分数的四则混合运算及应用-关于四则混合运算教学的思考及学生常见错误分析与对策61阅读| 精彩专题| 最新文章| 热门文章| 苏ICP备13036349号-1