一 : 《淘气包马小跳第二部》：《淘气包马小跳第二部》-影片资料：，《淘气包
《淘气包马小跳第二部》由黄军导演的一部中国儿童动画片，该片讲述了马小跳、唐飞、毛超、张达路过地摊卖小狗，几个人想买又怕家里反对。马小跳看到对面宠物店在搞宠物比赛，马小跳决定买一只小狗参加比赛，这样能有借口对付父母，没准还能赢得奖金。唐飞等人也赞同，大家决定一起训练小狗。回到家，马小跳苦口婆媳地劝说父母允许他养狗，小狗却当着大家的面在沙发上撒了一泡尿，害得马小跳被骂，最终达成协议，小狗必须由马小跳自己照顾，如果一周后的宠物比赛没能拿奖，就立刻将小狗送人。作品诙谐幽默、好玩有趣，通过描写一群调皮孩子的快乐生活以及他们和家长、老师、同学的好玩的故事，映射当代儿童的生活现实与心理现实，深情呼唤张扬孩子的天性，舒展童心、童趣，探析成人世界与儿童世界之间的隔膜、误区，倡导理解、沟通，让孩子拥有健康、和谐、完美的童年。
淘气包马小跳第二部_《淘气包马小跳第二部》 -影片资料：
片名：淘气包马小跳第二部
导演：黄军
主角：马小跳、丁蕊、马天笑、夏林果、安琪儿、毛超、唐飞、张达
地区：中国大陆
类别：儿童动画类
语言：普通话
集数：52
上映时间：2008年10月1日中国
淘气包马小跳第二部_《淘气包马小跳第二部》 -剧情简单介绍：
《淘气包马小跳第二部》：“淘气包马小跳系列”是杨红樱最新创作的儿童小说系列，作品诙谐幽默、好玩有趣，通过描写一群调皮孩子的快乐生活以及他们和家长、老师、同学的好玩的故事，映射当代儿童的生活现实与心理现实，深情呼唤张扬孩子的天性，舒展童心、童趣，探析成人世界与儿童世界之间的隔膜、误区，倡导理解、沟通，让孩子拥有健康、和谐、完美的童年。
淘气包马小跳第二部_《淘气包马小跳第二部》 -剧情人物介绍：
马小跳
生日：1995年8月8日（属猪）
血型：O型
星座：狮子座
克星：笑猫、路曼曼、秦老师
如果马小跳像正常小孩一样在母亲肚子里待10个月，本来是可以和他父亲马天笑先生同一天生日的，但是他偏偏待了11个月，于是成了马天笑先生的1个遗憾。
虽然被老师认为“坏孩子”，但其身上的善良、热情、真诚、勇敢，每次都让人感动，而他的想象力、创造力和与生俱来的幽默感又每每让人惊叹。如果世界上有关于玩的比赛，马小跳不得冠军至少也能得个亚军。马小跳不仅爱玩，而且会玩，能玩得花样百出，能玩出聪明与机智。马小跳的老爸也爱玩，他不仅有童心、有爱心，能理解马小跳，而且还能和马小跳玩到一块，甚至两人比着玩。“贪玩老爸”玩出了许多发明创造，成了大名鼎鼎的玩具设计师……马小跳居然要和他的“贪玩老爸”互换角色，让父亲当儿子他当父亲……
张达
血型：B型
星座：金牛座
兴趣爱好：跟汽车赛跑
克星：笑猫
最怕的东西：猫
嘴巴大，舌头也大，说话结结巴巴，含含糊糊，他干脆不说话。他喜欢动手不动口，吵架他要输，打架他会赢，被猫抓过手，很怕猫。
唐飞
血型：A型
星座：白羊座
兴趣爱好：除了吃，还是吃。
克星：笑猫、张达、秦老师
不折不扣的小气鬼，他怕人家要他的东西吃，就带钢珠到学校来吃，信不信由你（喜欢马小跳的表妹杜真子）
毛超
性别：男
生日：9月2日
星座：处女座
血性：A型
身高：147厘米
体重：35公斤
外貌特征：瘦瘦矮矮，论打架既打不过张达，也打不过马小跳，。脸长得也不很成功，尖下巴，瘦脸颊，更要命的是，他的眼珠子还会骨碌碌骨碌碌转，实在是有点“尖嘴腮”。
人如其名，毛超同学性格有点毛糙。世界上比马小跳还丢三落四的人不多，马天笑先生算1个，毛超也算1个。不过，毛超算是个聪明的孩子，4个调皮蛋中，数他鬼点子最多脑筋最灵活。
特长：毛超有1个特长——话多。当然，换1种说法就是废话多。一件两句话说就能说清楚的事情，到了毛超嘴里就能成为一篇五百字的记叙文。不过这个世界上适合毛超这个特长将来能够去做的职业太多了：娱乐记者、新闻官、电台主持、保险推销员……毛超一点都不愁将来找不到工作。
路曼曼（又名陆不凡）
生日1995年2月2日
血型AB型
星座水瓶座
职务：中队长，活泼可爱的小大人。
仰慕的人：秦老师、丁文涛
喜欢的游戏：躲猫猫（那是幼儿园时喜欢，后来被马小跳吓过一次后就再也不喜欢任何游戏了）
喜欢的课：语文课（因为可以通过回答秦老师的问题而出风头）
喜欢的作家：任何名字拗口的作家。最好是大家都不认得的。
喜欢的男生：马小跳（看似讨厌马小跳，却在心里喜欢）
性格：活泼可爱的女孩，聪明伶俐，伶牙俐齿。人缘不是很好。但很讨大人们的喜爱。在大人与老师面前是个乖乖女，但在同学面前是个严肃的小老师。
喜欢的明星：居里夫人、希拉里
是乖乖女的典范。可以说在外表上刻意要装成很小大人的模样。有时候很惹同龄人生气。能干又聪敏。在傲慢无礼的外表下有一刻敏锐亦受伤的心。有的时候拼命努力却失败后脱掉伪装会显得特别脆弱。不常哭（多是被马小跳的刺耳的话逼出心事给弄哭）常生气。吹胡子瞪眼大嗓门。在老师面前听话又能干，很能揣摩大人的心思。走路的时候脚一颠一颠，马尾辫一甩一甩，要把自信和骄傲全做给别人看。
对自己究竟的喜好不是很清楚，只知道按照老师的意思做，什么都要争得最好。让自己威信高，了不起。
她颇对马小跳不屑一顾，但是又常常被他活力四射的朝气和许多聪明的点子吸引。路曼曼要管着马小跳，马小跳却不喜欢路曼曼总管着他，他们之间永远有吵不完的架。路曼曼是中队长，她要竞选大队委，令人难以置信的是，马小跳居然到处鼓动大伙投票选路曼曼！如果前人说：当1个傲气的小女孩喜欢上了1个小男孩的时候，就会想方设法去欺负他的话，那么我们不得不猜想可能路曼曼心里是喜欢马小跳的。她和马小跳的关系保持在在一起就要吵，拼命证明自己可以击败对方的战斗中。但是，只要路曼曼生病，马小跳还是会非常关心地去看望她的。因为马小跳其实一直是让着她的，而且路曼曼颇以此理所当然。但是由于夏林果让他有一点点变心。她欺负他就更多了。在马小跳这个奇特的顽固分子面前，她争强好胜的心更激烈。优点能吃苦耐劳自我约束能力非常强。是天生的能人和工作帮手。做事一板一眼，荣誉感强，卖力刻苦地为班级集体服务（从管别人中得到许多乐趣），但是很需要回报。
夏林果
生日：1995年3月3日
血型：A型
星座：双鱼座
属相：猪
职务：大队委员，班花
喜欢的装束：穿粉红色有花边衬里的石榴裙和有蝴蝶结的蕾丝袜，梳一条长长的麻花辩。
经常做的事：翻白眼
走路的姿势：背直直的，眼睛平视前方。膝盖不打弯，脚尖外迈八字型。手放在裙子上折叠。
喜欢做的事：跳芭蕾舞
崇拜的人：法国的芭蕾舞演员、说话很酷的男生（比如张达）
讨厌的人：像毛超那样叽叽喳喳的男生。
梦想：成为最有名的芭蕾舞演员
不喜欢：吃。为了保持自己的体形，她严格控制自己的饮食。
内心温柔浪漫，外表我行我素。多愁善感，善解人意。有时义不免装腔做势，但是夸张度不如路曼曼。有点爱慕虚荣，但心智还是比较单纯的。自信心足，完美主义者。比较有包容力，很有克制力。像小大人，并对自己很严格并且期望很高。对人较有谦和，开始是对别人不屑一顾，但是等到接触多了就会好心好意起来。不善拒绝。马小跳曾经很想和她同桌，却使班主任秦老师认为他的思想有问题，班上其他同学觉得他是“癞蛤蟆”、是“黄鼠狼”……马小跳不明白，为什么别人总把他想得那么坏？
夏林果对同学们比较冷漠淡薄，一来因为她的心里只有芭蕾舞，懒得和其他普通孩子计较。二来因为天生环境优越，班级里喜欢她的人很多。于是就看不起别人。这是一重小孩子的作风，只要别人觉得你好了，你自己就更把自己看成鲜花。其实她的心底是比较善良的。
但不免外露的骄傲，容不得别人说她不好。对自己很有自信，想做什么也我行我素。所以不受其他同学的影响，比较能看出真相。例如几次马小跳被冤枉或者受了什么委屈都是夏林果指出来的。但是她心中对马小跳没有好感，只是她觉得立场要公正。只是她认为应该高尚，她敢说敢做。爱憎分明，同时又注意分寸，乖巧。总的来说，她是个生活在自己世界中的公主。
可爱的外表下，有她美丽的心灵。夏林果之所以可以当上大队委，不正是因为她是个品学兼优的乖巧女孩儿吗？夏林果不仅是她内心世界的公主，还是现实生活中的小公主！
安琪儿
安琪儿是马小跳门对门的邻居，也是马小跳的同班女同学。她的名字是她母亲给她取的；她长着塌鼻子、厚嘴唇，同学们都不大喜欢她，马小跳也不怎么喜欢她，可如果有人欺负她，马小跳一定会挺身而出去帮她的。大家都认为安琪儿是个笨女孩，安琪儿自己也觉得自己比较笨，但在做“脑筋急转弯”考题时，安琪儿却能对答如流……安琪儿以前崇拜表哥林子聪，可后来却开始崇拜马小跳。
丁文涛
号称“成语大王”的丁文涛，一张嘴便是一串成语，但被杜真子打败。马小跳最烦他说成语了。丁文涛在班队活动课上搞了一场辩论会，大家都觉得他是稳操胜券，结果谁也没有料到，马小跳和毛超、张达居然胜了丁文涛和路曼曼、夏林果。丁文涛在班上开“积善银行”，轰动了学校，不仅报纸对他的事迹作了报道，而且电视台的记者也来采访他。但面对记者的提问，丁文涛却答不上话来……
淘气包马小跳第二部_《淘气包马小跳第二部》 -作者简单介绍：
杨红樱，中国作家协会会员，《青年作家》杂志社副编审。所著“淘气包马小跳系列”、“杨红樱校园小说系列”、“杨红樱童书屋”已成为品牌图书，共发行200多万册。“杨红樱校园小说系列”将拍成100集校园动画片；《女生日记》、《男生日记》正由中国电影集团拍成电影；《五三班的坏小子》、《漂亮老师和坏小子》将拍成电视连续剧。“淘气包马小跳系列”前九册面市后受到了孩子、家长、老师们的由衷欢迎和喜爱，“淘气包马小跳系列”的电影、电视连续剧和动画片正在拍摄制作中，不久将会与广大读者见面。
“淘气包马小跳系列”是杨红樱最新创作的儿童小说系列，作品诙谐幽默、好玩有趣，通过描写一群调皮孩子的快乐生活以及他们和家长、老师、同学的好玩的故事，映射当代儿童的生活现实与心理现实，深情呼唤张扬孩子的天性，舒展童心、童趣，探析成人世界与儿童世界之间的隔膜、误区，倡导理解、沟通，让孩子拥有健康、和谐、完美的童年。
她的作品尊重孩子的天性，构筑了孩子理想的天国，不仅得到孩子的喜爱，很多家长、老师也是激情阅读，以期能从中寻找到通往孩子心里的密径。
淘气包马小跳第二部_《淘气包马小跳第二部》 -集数介绍：
第1集：马小跳的绝版对手之马小乐（一）
第2集：马小跳的绝版对手之马小乐（二）
第3集：马小跳的绝版对手之马小乐（三）
第4集：马小跳的绝版对手之马小乐（四）
第5集：马小跳的绝版对手之马小乐（五）
第6集：变身大墨镜
第7集：成为陆不凡
第8集：分身有术
第9集：故事的结局
第10集：好人好事罗盘
第11集：马小跳的网游世界
第12集：上了发条的小马跳
第13集：遇见童年时的父亲
第14集：转运拨浪鼓
第15集：帮父亲戒烟
第16集：路曼曼学单车
第17集：马天笑的策划书
第18集：特效魔术师
第19集：我是奥特曼
第20集：无敌考花老师
第21集：相声小子
第22集：校园有宝
第23集：理财顾问
第24集：人造月球（上）
第25集：人造月球（下）
第26集：神秘的包裹
第27集：谁动了我的大黄蜂
第28集：谁是小童星
第29集：谁在溺爱马小跳
第30集：我不是小屁孩
第31集：我没有作弊
第32集：小赢家
第33集：追星母亲
第34集：爱心项圈
第35集：不求最好只求最差
第36集：强制命令手机
第37集：人无完人
第38集：生日快乐
第39集：时光小偷
第40集：世上只有父亲好
第41集：所有权公章
第42集：小黄帽的橡皮泥
第43集：愿望帽的愿望
第44集：越穿越老的鞋
第45集：不要和陌生人说话
第46集：《淘气包马小跳第二部》真假父亲（上）
第47集：真假父亲（下）
第48集：宠物狗大赛
第49集：记忆机器
第50集：奖状的代价
第51集：马小跳的金牌梦
淘气包马小跳第二部大结局：第52集时光手机
二 : 淘气包马小跳之六年级毕业第三章迎接新同学
今天是上课的第一天，六年级了，以后在母校的日子不多了，今天的天气沉闷地很，竟然来了传说中的雾霾，突然，马小跳拉着小非洲一个箭步冲进教室，他们俩放下书包，拿起扫把，和小非洲冲下楼去，赶紧去跟张达、毛超、唐飞一起去扫地。“为什么马小跳今天这么这么地积极”，唐飞问毛超，“别忘了，今天可是夏林果值班监督，马小跳可喜欢夏林果了。”毛超答道。“叮铃铃...叮铃铃....”上课了，同学们都回教室了。他们几个人回到教室后，秦老师也进来了，秦老师笑眯眯地说“同学们，我有一个好消息要告诉大家，有两位新同学转到咱们班了！”
“什么，谁呀？”大家异口同声地在桌子底下小声议论。
“是一对双胞胎，两位新同学进来吧。”
她是白轩儿（她是姐姐，长了一对漂亮的大眼睛，但特别爱嫉妒，眼里透出算计人的目光）
她是白琪儿，（她是妹妹，哪儿都比姐姐漂亮，特别是心地very的善良）
白轩儿自告奋勇要跟“路大人”坐同桌，路曼曼一眼就看出了白轩儿是个爱嫉妒的人。既然是爱嫉妒之人，路曼曼敢百分之百地肯定她也会嫉妒夏林果。因为夏林果是全校大队委队长，是学校的代表，是学校的荣耀。这样一来，路曼曼就能顺利地挤兑夏林果了，哈哈，所以路曼曼一口答应了跟白轩儿坐在一起的事情，不过，如果这事儿让马小跳知道了，他可饶不了路曼曼......但是丁文涛怎么办呢，当然和张达坐同桌了。白琪儿和黄菊坐了同桌，大家都找到了了各自新属的位置。可“成语大王”丁文涛却不甘心，因为张达和马小跳、唐飞、毛超是张达最要好的朋友。他们一直合不来，再说，张达说话结结巴巴的，跟他沟通都很困难，可没办法，这都是秦老师的意思，他一向是很听话的，所以他只能跟河马张达坐在一起了。唉！.....他真可怜！没想到，号称“成语大王”的丁文涛也有多愁善感的一面......“叮铃铃......叮铃铃”下课了，马小跳他们不是去解决"内急"了,就是去玩了。反正大家都陆陆续续的出去了除了极个别的同学还逗留在教室里，其他人都出去了！（未完待续,希望各位亲多多关注我，谢谢！)
河南安阳文峰区建安小学五二班五年级:韩宓君
三 : 小波包、多小波及第二代小波
第4章 小波包、多小波及第二代小波 小波包、多小波及第二代小波都是针对通常的小波在实际应用中具体存在的问题发展而来的。［www.61k.com)小波包主要是针对通常小波变换只是对信号的小波迭代分解过程中只对上一层的低频输出进行分解，因而不能精确提取高频信息的弊病而提出来的。它不仅可以在低频输出上进行迭代分解，而且也可以在高频输出上迭代分解，从而更利于信号的特征分析。 在信号处理中，小波变换的基函数是否具有正交性、短支撑集、对称性等对处理的结果至关重要。在传统的小波变换中，并不存在同时满足上述性质的小波基。为了弥补这种不足，Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是将单小波中的由单个尺度函数生成的多分辨率空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由。多小波具有多个尺度函数和多个小波函数，在信号分析中，它能够兼顾小波基的多种特性，更有利于信号分析。 提升方案(Lifting Scheme)是关于小波构造的一种新方法，也是所谓“第二代小波”的核心技术。在第二代小波中，小波基不一定是由某一确定的基本小波通过尺度和平移得到，其定义非常灵活。另外，任何传统的小波(也称第一代小波)也可以由第二代小波构造生成，因此研究第二代小波更有实际意义。 由于小波包、多小波及第二代小波都是在传统小波基础上，根据实际的不同应用要求发展而提出来的，具有许多相近要求，所以我们本章对它们一起讨论。 4.1 小波包 在某些信号分析中，人们往往只对某些特定时间段(点)或频域段(点)的信号感兴趣，因此人们自然希望在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。 小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求进一步提出来的，并且从数学上作了比较严密的推导。从工程技术的角度，小波包可以看成是函数空间逐级正交分解的扩展。 图4.1是我们介绍过的Mallat多分辨率分析中函数空间的分解和相应二分树滤波器组的示意图。首先可以想到这种二分解不只可对各空间进行，也可以类似地对各空间进行。这样便将得到图4.2所示的空间分解和对应的二分树滤波器组示意图。图中各框内括号中的符号代表划分出该空间的分解次序，其次序是先右后左。代表低通滤波，jVjWL
代小波 小波包、多小波及第二代小波
H代表高通滤波。（www.61k.com) 图4.1 Mallat多分辨率分析示意图 图4.2 小波包分解示意图 4.1.1 小波包的基本原理 设正交小波基的滤波器系数分别为和，并将尺度函数)(nh)(ng)(tφ改写为，小波函数)(0tw)(tψ改写为，于是关于尺度函数)(1tw)(tφ和小波函数)(tψ的双尺度方程为： Σ∈.=Znntwnhtw)2()(2)(00 4.1 Σ∈.=Znntwngtw)2()(2)(01 4.2 令)(ωH和)(ωG分别是滤波器和的Fourier变换，即 )(nh)(ngΣ∈.=ZnjnenhHωω)(21)( 4.3 Σ∈.=ZnjnengGωω)(21)( 4.4 则双尺度方程的Fourier变换为： )2/()()(00ωωωWHW= 4.5 )2/()()(01ωωωWGW= 4.6 设尺度空间和小波空间用一个新的空间统一起来表征。若令 jVjWljU文本框: W34(HLL)文本框: V34(LLL)文本框: W33(HLL)文本框: V33(LLL)文本框: W32(HLL)文本框: V32(LLL)文本框: W22(HL)文本框: V22(LL)文本框: W31(HLL)文本框: V31(LLL)文本框: W21(HL)文本框: V21(LL)文本框: W1(H)文本框: V1(L)文本框: V0文本框: W3(HLL)文本框: V3(LLL)文本框: W2(HL)文本框: V2(LL)文本框: W1(H)文本框: V1(L)文本框: V0 .....==jjjjWUVU10 4.7 则多分辨率空间的正交分解jjjWVV⊕=.1即可用的分解统一起来： ljU1001jjjUUU⊕=. 4.8 定义子空间是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间，则满足下列双尺度方程： ljU)(twlljU2)(2twl)(twlΣ∈.=Znllntwnhtw)2()(2)(2 4.9 Σ∈+.=Znllntwngtw)2()(2)(12 4.10 此时 1221+.⊕=ljljljUUU 4.11 小波包{定义为包括尺度函数)(twl)()(0ttwφ=和小波函数)()(1ttwψ=在内的一个具有一定联系的函数集合。小波包具有下列主要性质： (1) 每个本身都是整数移位正交的，即 ()twl()()Zkktwtwkll∈=.,,δ (2) 同一尺度级下的小波包基奇偶序号之间是正交的(包括作整数位移)。即 ()()0,122=.+ktWtwll 4.1.2 小波包分解 现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有 31211++⊕==jjjjUUWU 4.12 而 524221+++⊕=jjjUUU， 4.13 726231+++⊕=jjjUUUM 因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW3121++⊕=jjjUUW 72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW M 121221.+++++⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14 M 文本框: jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU++212,,1,0.=lmLjl,,2,1L=；。子空间序列的标准正交基为： L,2,1=jmljlU++2{}Znntwljmljl∈.+.++.:)2(2)(22/)( 4.15 当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU++2jjWU=1{})2(2)2(22/12/ntntwjjjj.=.....ψ，它正是标准正交小波基{})(,tnjψ。 图4.3给出了空间分解的两种示意图，可见随着jWj增加，相应的小波
代小波 小波包、多小波及第二代小波
基函数的局部性愈差，时间(或空间)分辨率愈低，而频域的局部性愈好，频率分辨率愈高。［www.61k.com)因此在具体应用中，我们可以根据实际要求将分解成我们希望的任意子空间的组合，但必须所选择的子空间不重合地覆盖空间。而如何根据不同的要求选择不同的子空间组合空间，使分析或处理信号达到最佳，这将是最优基选择要讨论的问题。 jWjWjW(a) (b) 72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW3143041431331235242+++++++⊕⊕⊕⊕⊕⊕=jjjjjjjjUUUUUUUW图4.3 空间分解示意图 jW4.1.3 小波库及小波包基 小波库是小波包的进一步推广。若p是一个倍频程细划分的参数，即令，则小波包记为，其中。我们称mpl+=2)2(2)(2/,,nttjpjpnj.=..ψψ)2(2)(22/twtlmlpl+=ψ)(,,tpnjψ为具有尺度j、位置和频率指示np的小波包。 与研究的小波基)(,tnjψ相比，小波库是小波包内的每一个函数经尺度平移后的所有函数组成的新集合。在小波包)(,,tpnjψ中，除了离散尺度j和平移位置两个参数外，还增加了频率参数。正是这个新的频率参数，使得小波包克服了小波时间分辨率高时，频率分辨率低的缺陷。于是，参数nmpl+=2p表示函数的零交叉数目，也就是其波形的振荡次数。 )2(2)(22/twtlmlpl+=ψ由)(tpψ生成的函数族{})(,,tpnjψ称为由尺度函数)(tφ构造的小波库。而从小波库{})2(22/ntjpj...ψ中提取的能够组成中的一组正交基被称为的一个小波包基。 )(2RL)(2RL文本框: 4.1.4最佳小波包的选择方法 对于一个具体信号究竟如何选择最佳的小波包来分解信号，是和分解的目的密切相关的。例如，对数据压缩而言，其优选目标是使得变换后数据压缩比即大、信息损失又较小。但对信号分析、检测而言，这些选择却未必是优选标准。因此小波包的优化选择是需要重点讨论的一个问题。当信号的时-频结构随时间而变时，其最优小波包也会改变。如何随着时间的推移切换所选用的最优小波包，并减小切换期间过渡过程的影响也是一个值得研究的问题。 最佳小波包选择方法可根据实现需要定义一个可接受的代价函数，这样可以把“最佳”选择问题转换成代价函数最小化过程。最广泛应用的最佳小波包选择的代价函数是Shannon-Weaver熵准则。离散序列的Shannon-Weaver熵定义为： )(nx4.24 [Σ..=iipipx)(log)()(η其中22)()(xixip=，而当时，0)(=ip[]0)(log)(=.ipip。 式（4.24）可以表示为： ()22log)()(xxxx+.=.λη 4.25 这里 ()Σ..=iixixx22)(log)()(λ 4.26 注意：式（4.26）定义的代价函数的最小化等效于由式（4.25）给定的熵最小化。 根据代价函数，最佳基搜索算法是从
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树结构的底层开始，比较子节点的熵和父节点的熵。[www.61k.com]如果父节点的熵小于子节点熵的和，那么保留父节点的熵；否则，用子节点的熵和替代父节点的熵，从而可以确定最佳小波包基。 4.2 多小波 多小波是一种新小波，它包含多个小波，但又不是多个小波的简单堆积。1994年，Geronimo、Hardin和Massopus构造了著名的GHM多小波。它即保留了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性等性质完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矢量滤波器组、块滤波器组，初步形成了矢量滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系。 多小波可以看作矢量小波。实多小波理论与实矢量值函数相联，它是把函数由R映射成rR。设是一个(t)fr维矢量函数，对于及，则及的内积定义为 []Trtftftf)(,),(),((t)21L=frRL)((t)2∈frRL)((t)2∈g(t)f(t)g ∫+∞∞.=dtT(t)(t)(t),(t)gfgf 4.27 是一个rr×矩阵。 4.2.1多尺度函数 设是一个矢量函数，，[]Trttt)(,),(),((t)21φφφL=φrRL)((t)2∈φNr∈，对于，定义 Zj∈(){ZkrikspanVjijj∈≤≤..∈..,1:222/φ 4.28 如果空间满足下列特性，则称为多尺度函数 jV(t)φ(1) LL.....101VVV(2) )(2RLVZjj=∈U (3) {}0=∈IZjjV(4) 1(2t)(t).∈.∈jjVVff(5) (){}Zkriki∈≤≤..,1:φ是的Riesz基。 0V此时，我们称多尺度函数生成的乘数为(t)φ)(2RLr的多分辨率分析。 对于1021)(,),(),(..∈VVtttrφφφL，序列矩阵存在，这样 (n)hΣ+∞.∞=.=nn)(2t(n)(t)φφh 4.29 或矩阵形式表示为： ............................=............Σ∈)2()2()2()()()()()()()()()()()()(2121222211121121ntntntnhnhnhnhnhnhnhnhnhtttrZnrrrrrrrφφφφφφMLMMMLLM 4.30 式(4.30)称为多尺度函数的矩阵双尺度方程。 (t)φ4.2.2多小波函数 设是在中的正交补，即正交于，且jWjV1.jVjWjV1.=⊕jjjVVW。是矢量函数，，这样 []Trttt)(,),(),((t)21ψψψL=ψrRL)((t)2∈ψ(){ZkrikspanWjijj∈≤≤..∈..,1:222/ψ 4.31 对于，如果满足下列条件 Zj∈(t)ψ(1) jjWV⊥(2) {}Znrintjij∈≤≤...,1:)2(22/ψ是的稳定基 jW 则是半正交多小波函数。 (t)ψ如果在空间中，函数是正交的，我们可以获得多小波，此时满足 jWZnj∈.,,n)t(2-jψZnmkjmnkj∈=..,,,,m)t(2,n)t(2,,-k-jIδδψψ 每个多小波满足双尺度方程 Σ+∞.∞=.=nn)(2t(n)(t)φψg 4.32 双尺度系数是(n)grr×矩阵。 4.2.3典型的多小波函数 一个非常重要的多小波系统由Geronimo、Hardin和Massopust设计，该
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系统包括两个尺度函数)(1tφ和)(2tφ，如图4.4所示，此时对应的滤波器系数为： ......=)()((t)21ttφφφ3)-(2t(3)2)-(2t(2)1)-(2t(1)(2t)(0)φφφφhhhh+++= ..............=103210152453(0)h， ............=12109053(1)h .........=103210900(2)h， .........=0210100(3)h 4.33 图4.4 GHM尺度函数对 对应图4.4的两个小波函数)(1tψ和)(2tψ如图4.5所示，其滤波器系数为： ......=)()((t)21ttψψψ3)-(2t(3)2)-(2t(2)1)-(2t(1)(2t)(0)φφφφgggg+++= ............=231321101(0)g， ..........=091029101(1)g ............=239329101(2)g， ..........=01021101(3)g 4.34 图4.5 GHM多小波 Geronimo-Hardin-Massopust尺度函数有下面四个特性： . 它们都具有短的支集(区间和[)； [1,02,0. 两个尺度函数都是对称的，小波形成对称/反对称对； . 尺度函数的所有移位都是正交的； . 系统有二阶逼近(在中是局部常数和局部线性函数)。（www.61k.com） 0V另一类具有二阶逼近的实用的正交多小波系统是由三个系数确定的对称尺度对： .............+=47204720(0)h，..........=43414143(1)h，............+.=04720472(2)h 4.35 和Chui-Lian尺度对： ..............=47472121(0)h，，......=1002(1)h..............=47472121(2)h 4.36 对应的尺度函数分别如图4.6和图4.7所示。由图可见对称尺度对中，一个尺度函数是另一个尺度函数的中心点的镜象，而Chui-Lian尺度对分别是对称尺度对两个函数的和和差。 图4.6 对称尺度函数对 文本框: 图4.7 Chui-Lian尺度函数对 4.2.4多小波和多小波滤波器组 对应每个多小波系统的是矩阵值的多数率滤波器组，或多滤波器。一个多小波滤波器组具有NN×矩阵的“taps”。例如四个系数的对称多小波滤波器组，它的低通滤波器由四个22×矩阵(式4.33)给出。不同于标量二通道滤波器组，高通滤波器组(四个(n)h22×矩阵(式4.34)给出)不能简单地由低通滤波器获得，必须设计小波滤波器。生成的二通道、(n)g(n)g22×矩阵滤波器组在两个输入数据流上操作，把它们滤波成四个输出流，每个数据流以因子2下采样，如图4.8所示。 图4.8 迭代多小波滤波器组 图4.9 二维多小波分解的16个子带 多滤波器的每行是两个普通滤波器的组合，一个在第一个数据流上操作，另一个在第二个数据流上操作。不同于一般的小波，在传统的小波中，Mallat金字塔分解算法可以直接利用，而多小波需要对
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输入信号首先矢量化，即预处理。[www.61k.com）一种GMH多小波的预处理方案是：如果图象以NM×大小输入，则预处理输文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 出四幅大小为的子图象。这样，在多小波的多分辨率图象分解中，由于多小波有两个通道(4/)(NM×2=r)，所以将有两组尺度系数和两组小波系数。例如，标号为的子带对应于垂直方向第一个通道的低通滤波器和水平方向第二个通道的高通滤波器。经过一层二维多小波分解之后，可以得到16个子带的图象，如图4.9所示。 21HL多小波分解在上一层分解的低通系数上进行迭代，低通系数是一个22×的子带： 这样二维图象经过层分解后，产生J)13(4+J个子带(子图象)，如图4.10所示。 (a)原图象 (b)预处理 (c)1层分解 (d)2层分解 (e)3层分解 图4.10 图象二维多小波分解 在实际应用中，我们可以根据实际需要决定分解层数，并在每个分解层上进行分析处理。 4.3 第二代小波及信号分解与重建 小波变换除了应用通常的卷积法实现以外，一种新的双正交小波构造方法——提升算法，由于其本身的固有特性，也在被越来越多的学者应用到小波变换的构造中。基于提升算法的小波变换称为第二代小波变换，它容许我们用一种极其简单的方法去解释小波的基本理论，任何第一代小波变换都可以找到等效的提升方案，即第二代小波变换。第二代小波变换与第一代小波变换(传统的小波变换)相比较有如下特点： ① 继承了第一代小波的多分辨率特性； ② 所有运算都在空间域进行，从而摆脱了对频域的依赖； ③ 小波变换后的系数是整数； ④ 图像的恢复质量与变换时边界采用何种延拓方式无关。 由于第二代小波变换的固有特性，使它更适合于具体应用。 4.3.1 提升算法的基本原理 提升算法是第二代小波变换的核心，所以我们先对其基本原理进行介绍。对于原始信号，经小波变换可以分解为低分辨率和细节，其提升方法的实现包括三个步骤：分裂(split)、预测(predict)、更1.jSjSjD 新(update)。 步骤1：分裂 将信号分裂为两个互不相交的较小子集与。实际应用中，最简单的分裂方法是将序列分成偶序列和奇数列。 1.jSjSjD1.jSevenjS1.oddjS1.),(),()(111jjoddjevenjjDSSSSsplit==... 4.37 其中。表示信号序列的分裂过程。 )(1.jSsplit1.jS步骤2：预测 预测过程是针对数据间的相关性，可用去预测，故可采用一个与数据集结构无关的预测算子jSjDP，使得，这样就可以用子数据集代替原始的数据集
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，若用子数据集与预测值的差值去代替，则此差值反映了两者的逼近程度，预测误差越小越好。（www.61k.com）如果预测是合理的，则差值数据集所包含的信息比原始子集包含的信息要少得多。预测过程的表达式如下： )(jjSPD=jS1.jSjD)(jSPjDjD)()(11jjevenjoddjjSPDSPSD.=.... 4.38 此时的称为小波集，是预测值与真实值的偏离值。 jD步骤3：更新 经过以上两个步骤产生的系数子集的某些整体性质(如均值)并不和原始数据中的性质一致，因此需采用更新过程。更新过程是通过算子U产生一个更好的子数据集，使之保持原数据集的一些性质。用算子U更新定义为： 1.jSjS1.jSjS)()(jjjevenjjDUSDUSS+=+. 4.39 继续分裂、预测和更新： {})(),(:,11111111++++++++....jjjjjjjjDUDSSPDDDS 4.40 {})(),(:,22222222++++++++....jjjjjjjjDUDSSPDDDS 4.41 *L次分裂、预测和更新后，有 {}jLjLjLjjDDDSS,,,,2111L.+.+.+.= 4.42 即经过次分解后，原始数据的小波表示为L1.jS{}jLjLjLjDDDS,,,,211L.+.+.+。其中代表了信号的低频部分，其余为信号的高频部分。 1.+LjS上述提升方程的三步骤体现在原始信号数据的分解与重建之中，即 分解过程(正变换)： {}.....+=.=..)()()(,1jjjjjjjjjDUSSSPDDSSplitDS 4.43 重建过程(逆变换)： ......+=.=.),()()(1jjjjjjjjjDSMergeSSPDDDUSS 4.44 提升方法的正、逆变换如图4.11所示。 (a) 正变换 (b) 逆变换 图4.11 提升方法的模型框图 4.3.2提升算法的实现 离散小波变换的一个基本概念是滤波器组，包括分解滤波器组}~,~{gh和重建滤波器组。在实际应用中，为了利用已有的适应不同目的而构造的小波滤波器，可以应用提升算法来把这些小波滤波器分解成简单的形式。为了建立由提升算法构造的小波变换与已有的小波滤波器之间的关系，首先将卷积法中应用的小波分解滤波器表示成多相矩阵的形式： },{gh........=)(~)(~)(~)(~)(~zgzgzhzhzPoeoe 4.45 其中)~,~(gh为小波分解滤波器，下标分别表示相应滤波器的奇数序号和偶数序号系数。 ),(oe我们知道，对于输入信号序列，其选抽就是保留偶数或奇数采样点，此时 )(nx)()()12()2()()(212)12(2zXzzXzkxzkxznxzXoekkkknn.+...+=++==ΣΣΣ 4.46 )()(212zXzzXoe.+=则相应的小波变换可表示为： 4.47 ........=.........)()()(~)()(1zxzzxzPzzoeλγ同理，定义小波重建滤波器的多相矩阵形式为： 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: Merge文本框: U文本框: P文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: 文本框: Split文本框: U文本框: P ........
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=)()()()()(zgzhzgzhzPooee 4.48 则小波变换的逆变换可以表示为： 4.49 ........=........)()()()()(zzzPzzyzyoeλγ小波重建滤波器的多项矩阵表示)(~zP和应满足如下完全重建条件： )(zPIzPzP=)()(~ 4.50 由此，小波变换转换成对多相矩阵的操作。[www.61k.com)若)(~zP为单位阵，则该小波变换称为懒小波变换(Lazy Wavelet Transform或Femmelet Transform)。懒小波变换的作用是把输入信号分成奇部和偶部。在这里，它对应于提升算法中的“分裂”过程。 通过多项式的长除法，可以将)(~zP分解成： Π=..............................=miii(z) t(z)sKK(z)P1211 0 11 0 1 00 ~ 4.51 1K和为非零的比例常量，而每一个和分别称为原始提升(Primal Lifting)和对偶提升(Dual Lifting)。原始提升实现的是提升算法中的“预测”功能，即结合原高通子带的输入和原低通子带的输入得到新的低通输出；而对偶提升实现的是提升算法中的“更新”功能，即由原低通子带和原高通子带得到新的高通子带。这样，由滤波器得到的小波变化同样可通过懒小波变换和一系列提升过程得到。 2K........10)(1zsi........1)(01zti4.3.3 Anti9/7滤波器的提升算法 Sweldens等人首先提出提升方案作为第二代小波的构造方法，建立了一套相应传统小波的理论，包括多分辨率分析。该方法不仅可以用来构造第二代小波，还可以包含传统小波，即可以用提升方案构造传统小波。由于Anti9/7滤波器是目前广泛应用的小波滤波器，所以这里专门讨论一下Anti9/7滤波器的提升算法。Anti9/7分解滤波器系数如表4.1。 表4.1 Anti9/7分解滤波器系数 0 1± 2± 3± 4± h~ 0.85269 0.37740 -0.11062-0.02384 -0.03783g~ 0.78848 0.41809 -0.00407-0.06453 0 根据上一节的分析，可以用多相矩阵的形式表示滤波器对)~,~(gh，则通过多项式长除，得到它的多相矩阵为： ............+......+......+......+=ζζδγβα/1 00 0 z)(10 11 0)z(1 10 )1(0 110)z(1 1)(~-1-1zzP 4.45 这里 149604398.1=4435068522.0=8829110762.0=40529801185.0=586134342.1=ζδγβα 4.46 用提升算法对信号X进行小波分解时，首先对信号进行懒小波变换，将信号分为奇部和偶部，然后进行如下算法： oddXevenX4.47 ζζδγβα/)()()()()2()2()2(1)2()1()2()1(1)1()1()2()1(1)1()0()1()0(1)0()0()1(00lllllllllllllllllllloddlevenlddssddssssddddssssddXdXs==++=++=++=++===.+.+如图4.12所示。 图4.12 Daubechies 9/7小波滤波器的提升实现框图
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