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向量数量积的运算-向量的运算法则

发布时间:2018-05-12 所属栏目:算盘是哪个国家发明的

一 : 向量的运算法则

(1)实数与向量的运算法则:设?、?为实数,则有:

1)结合律:?(?a)?(??)a。[www.61k.com)

2)分配律:(???)??a??a,?(a?b)??a??b。

(2)向量的数量积运算法则:

1)a?b?b?a。

2)(?a)?b??(a?b)??a?b?a(?b)。

3)(a?b)?c?a?c?b?c。

(3)平面向量的基本定理。

e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量a,有且仅有一对实数?1,?2,满足a??1e1??2e2。

(4)a与b的数量积的计算公式及几何意义:a?b?|a||b|cos?,数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?的乘积。

(5)平面向量的运算法则。

1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1?x2,y1?y2)。

2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1?x2,y1?y2)。

????????????3)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1)。

4)设a=(x,y),??R,则?a=(?x,?y)。

5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=(x1x2?y1y2)。

(6)两向量的夹角公式:

cos??(a=(x1,y1),b=(x2,y2))。

(7)平面两点间的距离公式:

????

。 d

A,B=|AB|(A(x1,y1),B(x2,y2))

(8)向量的平行与垂直:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则有: 1)a||b?b=?a?x1y2?x2y1?0。

2)a?b (a?0)? a·b=0?x1x2?y1y2?0。

(9)线段的定比分公式:

?????????P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P,,是线段的分点,是实数,且PP??PP2,则 111222121

向量运算 向量的运算法则

?x?????y???x1??x2??????????????????????????OP??OP211??)。[www.61k.com) ?(1?t)OP?OP?1?OP?tOP12(t?1??y1??y21??

1??

(10)三角形的重心公式:

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标为G(x1?x2?x3y1?y2?y3,)。 33

(11)平移公式:

?????????????'?x'?x?h?x?x'?h??'?OP?OP?PP 。 ???''y?y?ky?y?k????

(12)关于向量平移的结论。

1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k)。

2)函数y?f(x)的图像C按向量a=(h,k)平移后得到图像C':y?f(x?h)?k。

3)图像C'按向量a=(h,k)平移后得到图像C:y?f(x),则C'为y?f(x?h)?k。

4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图像C':f(x?h,y?k)?0。

向量运算 向量的运算法则

设a=(x,y),b=(x',y')。(www.61k.com]

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a;

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。[1]

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被

向量的减法

减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。

向量运算 向量的运算法则

3、向量的数乘

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。[www.61k.com] 当λ>0时,λa与a同方向

当λ<0时,λa与a反方向;

向量的数乘

当λ=0时,λa=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍

当λ<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。[2]

4、向量的数量积

定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

向量运算 向量的运算法则

定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。[www.61k.com]若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|);若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a(交换律)

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。

2.向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。

3.|a·b|与|a|·|b|不等价

4.由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则a×b=0。

向量运算 向量的运算法则

向量的向量积性质:

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。[www.61k.com]

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

a×(b+c)=a×b+a×c.

注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

6、三向量的混合积

定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即

(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质:

1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)

2.上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4.(a×b)·c=a·(b×c)

向量运算 向量的运算法则

7.例题

正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK?

设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚:﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=??=0. ∴LB⊥GK

8、三向量二重向量积

由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:

二重向量叉乘化简公式及证明

二 : 向量是谁发明的?现在数学上向量及其运算,是哪位数学家发明的呢?好

向量是谁发明的?

现在上向量及其运算,是哪位数学家发明的呢?好象很少听人说过.
这个东西是如何发展起来的?


规定了方向和大小的量称为向量.向量又叫为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.

向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.

从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.

向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学.

但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析.

三 : 向量的运算



【本讲教育信息】

一. 教学内容:

向量的运算

二. 学习目标

1. 进一步理解向量的有关概念;

2. 掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义.

3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.

三. 知识要点

1、向量的有关概念

①向量:既有大小又有方向的量。向量一般用  ……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:  。向量的大小即向量的模(长度),记作|  |。

②零向量:长度为0的向量,记为  ,其方向是任意的,  与任意向量平行。

③单位向量:模为1个单位长度的向量。

④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合,记为  。

2、向量加法

求两个向量的和的运算叫做向量的加法。设  ,则  +  =  =

  。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。

说明:(1)  ;

(2)向量加法满足交换律与结合律;



3、向量的减法

①相反向量:与  长度相等、方向相反的向量,叫做  的相反向量。记作  ,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有: (i)  =  ;

(ii)  +(  )=(  )+  =  ;

(iii)若  、  是互为相反向量,则  =  ,  =  ,  +  =  。

②向量减法:向量  加上  的相反向量叫做  与  的差,记作:  。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。



  的作图法:  可以表示为从  的终点

指向  的终点的向量(  、  有共同起点)。

注:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4、实数与向量的积

实数λ与向量  的积是一个向量,记作λ  ,它的长度与方向规定如下:

(Ⅰ)  ;

(Ⅱ)当  时,λ  的方向与  的方向相同;当  时,λ  的方向与  的方向相反;当  时,  ,方向是任意的。

注:

结合律:λ(μ  )=(λμ)

(λ+μ)  =λ  +μ

分配律:λ(  +  )=λ  +λ

5、平行向量基本定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb

6、平面向量的基本定理

如果  是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量  ,有且只有一对实数  使:  ,其中不共线的向量  叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

7、特别注意:

(1)向量的加法与减法是互逆运算。

(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。

(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况。

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关。

8、单位向量:给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫作向量a的单位向量.

9、基向量,轴上向量的坐标

在轴l上取单位向量e,使e的方向与l同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x, 使a=xe,x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时,x是正数, 当a与e反方向时, x是负数;

e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.

小结:实数与轴上的向量建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量.

10、轴上两个向量相等的条件

轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;

轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.

11、公式(1) AB+BC=AC

公式(2) AB=x2-x1(轴上向量坐标公式)即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标

公式(3) |AB|=|x2-x1|

12、平面向量的坐标运算

(1)若  ,则

(2)若  ,则

(3)若  =(x,y),则    =(  x,  y)

(4)若  ,则

【典型例题】

例1. 判断下列说法是否正确,并说明理由。?

①向量  与  是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一直线上;?

②单位向量都相等;?

③任一向量与它的相反向量不相等;?

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是  =

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;?

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

⑦若  ,  ,则  ;

⑧若  ,  ,则

⑨若四边形ABCD是平行四边形,则

解:①不正确。共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量  、  在同一直线上.

②不正确。单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确。零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确。

⑥不正确.如图  与  共线,

虽起点不同,但其终点却相同.



⑦正确,向量相等有传递性

⑧不正确,因若  ,则不共线的向量  也有  ,  。

⑨ 不正确, 如图  

评述:本题考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须掌握好.

例2. 计算下列各式:

(1)  ;

(2)  ;

(3)  .

解:

  ;

  ;



例3. 已知向量  ,  ,且  ,求实数  的值。

解:因为  ,

所以  ,

又因为

所以  ,即

解得

例4. 已知A(-2,1),B(1,3)求线段AB的中点M和三等分点P,Q的坐标

解:(1) 求中点M的坐标,利用公式可知M(  ,2)

(2) 因为  =  -

=(1,3)-(-2,1)

=(3,2)

  =  +  

= (-2,1)+1/3(3,2)

=(-1,  )

  =  +  

= (-2,1)+ 2/3(3,2)

= (0,  )

所以P(-1,5/3),Q(0,  )

例5. 如图,已知ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F。求证:AF=AE。

证明:建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为(-1,-1)和(0,-1),设E点的坐标为(x,y),则  ,



∵  ,

∴  ……①,

又  ,

故  ……②,

由①②得E点的坐标为  ,

设F(  ,-1)则  =(  ,-1),

由  与  共线得  ,

∴  =  即F(  ,-1),

所以  ,    ,



即AF=AE

主要数学思想方法

1、通过平面向量基本定理得出的过程,体会由特殊到一般的方法,培养“数”与“形”相互转化的思想方法。

2、向量是沟通代数、几何、三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法,要理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机地结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,

3、做好解题后的反思,总结解题规律,从而培养理性的、条理的思维习惯,形成对通性通法的归纳意识.

【模拟试题】(答题时间:45分钟)

一、选择题

1、设A、B、C、D四点坐标依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形ABCD为( )

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形

2、向量a,b都是非零向量,下面说法不正确的是( )

A.向量a与b反向,则向量a+b与向量a的方向可能相同

B.向量a与b反向,则向量a+b与向量b的方向可能相同

C.向量a与b反向,且  ,则向量a+b与向量a的方向可能相同

D.向量a与b反向,且  ,则向量a+b与向量a的方向可能相同

*3、已知平面上直线  的方向向量  =(  ),点  和  在  上的射影分别是  和  ,则  =    ,其中  等于

A.  B.-  C.2 D.-2

4、已知向量  与  的夹角为  ,  则  等于( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 1

**5、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足  ,其中  且  ,则点C的轨迹方程为()









二、填空题

6、在直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点的坐标为____________.

7、已知  ,  为原点,若  ,则  的值为____________.

8、平面内给定三个向量  ,则满足  的实数m,n为____________.

三、解答题

9、如图,平行四边形AOBD的对角线OD,AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,设



**10、(1)设两个非零向量  、  不共线,如果

  , 求证:  三点共线.

(2)设  、  是两个不共线的向量,已知  ,若  三点共线,求  的值.

11、如图,在△ABC中,设  =  ,  =  ,  =  ,  =λ  ,(0<λ<1),  =μ  (0<μ<1),试用向量  ,  表示  





【试题答案】

1、解析:  =(1,2),  =(1,2),∴  =  ,∴  ∥  ,

又线段AB与线段DC无公共点,∴AB∥DC且|AB|=|DC|,

∴ABCD是平行四边形,又|  |=  ,  =(5,3),|  |=  ,

∴|  |≠|  |,∴四边形ABCD不是菱形,更不是正方形;

又  =(4,1),∴1  4+2  1=6≠0,∴  不垂直于  ,

∴四边形ABCD也不是矩形,故选D。

答案:D

2、D

3、D

4、B

5、解、设  ,则

由  得

于是

先消去  ,由  得

再消去  得  。所以选D

6、解:设M(x,y)是线段AB的中点,则  =  (  +  )

= 1/2[(x1,y1)+(x2,y2)]

即 x=

y=

7、解:



8、解:由题意得

所以  ,得

9、解:

  .

  

10、(1)证明:因为

所以

又因为





又因为公共点为

所以  三点共线;

(2)解:



因为  三点共线

所以



所以  即  ;

11、解:∵  与  共线,∴  =m  =m(  -  )=m(μ  -  ),

∴  =  +  =  +m(μ  -  )=(1-m)  +mμ  ①

又  与  共线,∴  =n  =n(  -  )=n(λ  -  ),

∴  =  +  =  +n(λ  -  )=nλ  +(1-n)  ②

由①②,得(1-m)  +μm  =λn  +(1-n)  

∵  与  不共线,∴  ③

解方程组③得 m=

代入①式得  =(1-m)  +mμ  =  [λ(1-μ)  +μ(1-λ)  ]
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