一 : 指数与指数幂的运算练习题

2.1.1指数与指数幂的运算练习题

1、有理数指数幂的分类

n个?????n?

（1）正整数指数幂a?a?a?a???a(n?N)； （2）零指数幂a0?1(a?0)；

1?n?

（3）负整数指数幂a?n?a?0,n?N?

a

（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。[www.61k.com) 2、有理数指数幂的性质 （1）aman（3）?ab?

m

?am?n?a?0,m,n?Q? （2）?am??amn?a?0,m,n?Q? ?ambm?a?0,b?0,m?Q?

p

n

知能点2：无理数指数幂

若a＞0，P是一个无理数，则a表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式

1、根式的定义：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n?1,n?N?，a叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。 2

（1）n?N，且n?1； （2）当n是奇数，则an?a；当n是偶数，则an?a??（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1

）a

mn

n

??

?a??a

a?0

； a?0

?a?0,m,n?N

34

?

,n?1?； （2

）a

m?n

?

1a

mn

?

a?0,m,n?N?,n?1?

1、用根式的形式表示下列各式(a?0) （1）a= （2）a= （3）a2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）xy= （2）（4

4

3

15

?

35

= （4）a

???

32

=

m2m

?

(m?0) （3

）?= ?

?

85

（5

（6）aaa

2

（7） a?a? （8）a3?a2?9）aa?65

（10） pq?3、求下列各式的值

1?316?

（1）8；（2）100= ； （3）()= ；（4）()4=

481

2333

36225?2

3

（5）27= ；（6）()= ；（7）()= ；（8）252=

494

?

2

312

3

2

（9）[(]

10）?1?= （11）64?????

4.化简

?

12

?2

12

23

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算练习题

（1）a?a?a1

334712?（2）a?a?a?3）3a?(?a)?9a? 3234563234

1121??1??8a?3?333?x?2x（4）= （5）() = （6）2x3?6??227ba?a?2?a2

（7）?ab

2

3???856?5?????12?a4?b3?a?0,b?0?= 12131656（8）(2ab)(?6ab)?(?3ab)5.计算

（1）25?

? (2)

（3）()?4?(?2)

1212?1?31?3??1??()0?9 （4）?2??2?2??2?4?4??4?1?20?12??0.01? 0.5

?7?（5）?2??9?

0.5?10??0.1??2??27??2?2341??32373?0.75?3?? （6）(?3)3?0.042?[(?2)]3?16 4880

（7）0.027

1?3?1??????256?3?1??7??234?1??1??2?1 （8）??????46????0??2?13??2?1.030?60.5 ?2

（9）?0.064?

?13?7?3???????2??8?0???43?160.75??0. 12

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算练习题

（10）1.5

1?3

?6?

?????80.25?2??7?

6?2??3????

?3?

?

23

6.解下列方程 （1）x （4）3

x?2

???

13

1

? （2）2x4?1?15 （3）x4?2x2?24?0 8

3

?3x?2?80?0 （5）(0.5)1?3x?42x?1

7.(1).已知a?a（2）若x?x (3).若a?a

一.填空题

12

?12

12

?

12

2?2

?3，求下列各式的值（1）a?a?1（2）a?a2

?5，则x?1的值是

x

?1

?3，求下列各式的值：（1）a?a

3

5

12

?

12

；（2）a?a

2?2

1.若a?0，则a和a

3

4

?

用根式形式表示分别为和

ab和

65

m3m

b

用分数指数幂形式表示分别为 和 。（www.61k.com]

?34

2.使式子(1?2x)

a

有意义的x的取值范围是?1

3a?2b

3.若3?2，3?5,则3

m

n

的值= . 的值为 .

14

23

4.已知10?3,10?2，则10二.选择题.

3m?n2

1、 a?R，下列各式一定有意义的是（ ） A.a B. a C. a D. a 2、 a?R，下列各式一定有意义的是（ ） A. (?2) B.a 3、 下列各式计算正确的是 （ ）

A. (?1)?1 B.a?a?a C.4?8

m

n

?20

a?2

C. a D. a

13

2332

12

2

23

D. a?a

n

23

?

13

?a

4、若a?0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A、a?a?a B、

m

n

am?an?am?n C、?am??am?n D、1?an?a0?n

）

5、下列运算结果中，正确的是（

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算练习题

A．a?a?a B．?a2??a3

6.下列各式中成立的是（ ） 236???3? C．2a?1?1 D．?a2

333

4?0??3??a6 ?n?A．???n7m7 ?m?

2

371B．?354??3 C．x?y??x?y? D．? 7.下列各式成立的是（ ） 1?b?222355 A.m?n??m?n B.???ab C.?3???33 D.4?23 ?a?

338.将52写为根式，则正确的是（ ）A．52 B． C． D．53 211

29、化简?3?5?的结果为（ 34

???? ） A．5 B．5 C．? D．-5

1的值相等是（ ） A. a B. ?a C. ?a D. ??a a

11?112、已知a??3，则a2?a2等于（ ） A．2 B． C．?5 D．? a11.与a?

?x3

13、化简的结果是（ ） A．??x B．x x

14、下列各式正确的是（ ）

A.a?3

5C．?13x D．?x ?x?x C.a?a?a2321214?18?a111?(?)2482?114 D.2x(x3?2x3)?1? 2x?

??113315、根式（式中a?0）的分数指数幂形式为（ ）A.a B.a C.a4 D.a4 aa4433

二 : 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

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指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

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指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

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指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算1

三 : 必发指数的运用与计算

必发指数的运用与计算

在使用必发指数时，先计算出总成交量，就是一场球赛的胜平负的成交量之和。

再计算出3项成交量占总成交量的比重。

然后通过加权，计算出卖方挂牌的胜平负三项的总赔付，用总成交量的胜平负三项减去总赔付，

可以计算出卖方的在胜平负三项的盈亏值，当盈亏值为负值时，胜出概率最大，而冷热指数为负值时，

基本胜出概率较小。

比如，埃弗顿vs曼联，

买方挂牌，主胜1487，主平24022，主负，7658，

而卖方挂牌，主胜77549，主平150476，主负38579，

成交比例，43 1343，庄家盈亏-2204487 8097458-3631089，盈亏指数--14 52--23，结果主胜。主胜与客胜均是负值，低方负值打出，主胜2比0，

而另外一场赫尔城vs阿森纳，

买方挂牌，主胜6077，主平31827，主负[www.61k.com），397205，

而卖方挂牌，主胜94636 主平91339主负146903，

成交比例 5.633,9090.47，庄家盈亏 2405862828468561 --22260963，盈亏指数7285--66，结果负值打出，客胜0比3.

四 : 指数与指数幂的运算1

Monday, July 22, 2013

§2.1.1指数与指数幂的运算

回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

24=16 (-2)4=16 25=32

2,-2叫16的4次方根;

2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.

2n = a
xn =a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root), 其中n>1,且n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.

24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32

16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.

27=128

2是128的7次方根.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 6的三次方根是_____; a2 (5)a 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32

8的3次方根是2.

3 记作： 8 ? 2.

3 -8的3次方根是-2. 记作： ?8 ? ?2. 5 -32的5次方根是-2.记作： ?32 ? ?2.
7 128的7次方根是2. 记作： 128 ? 2.

27=128
奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.

a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n

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§2.1.1指数与指数幂的运算

72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根

49的2次方根是7，-7.
记作： ? 49 ? ?7

81的4次方根是3，-3.

记作： ? 81 ? ?3
4

64的6次方根是2，-2.
6

记作： ? 64 ? ?2.

1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 ? n a 表示(n为偶数）
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§2.1.1指数与指数幂的运算

(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
如果x n ? a, 那么
? n a , n ? 2k ? 1, k ? N? , ? x?? ? n a , a ? 0, n ? 2k , k ? N? . ? ?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

根指数

n

a

被开方数

根式

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§2.1.1指数与指数幂的运算

-8 9 ( 9) ? ____, ( ?8) ? ____.
2 3 3

由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.

(n a) n ? a
当n是奇数时, n a 对任意a?R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无

意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 ? n a (a ≥ 0)

(? a ) ? a
n n

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§2.1.1指数与指数幂的运算

(1)

5

2 ? 2,
5

3

（? 2） ? ?2.
3

结论:an开奇次方根,则有 n a n ? a.

(2) 32 ? 3, (?3)2 ? ?3, (?3)2 ? 3.

(3) 2 ? 2, (?2) ? ?2, （? 2） ? 2.
4 4 4 4 4 4

结论:an开偶次方根,则有

n

an ?| a | .

式子 n a n 对任意a ? R都有意义.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

公式1.

——牛宝宝日记本——? a?
n

n

? a.

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n

a ? a.
n

适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.

公式3.

n

a ?| a | .
n

适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

例1.求下列各式的值

（ 1） (?8) ;
3 3

(2)

(?10)2 ;

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解 ： ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①

④ ).

①
③
5 5

4 5

16 ? ?2
5
5

② ( ?3) ? ?3
( ?3) ? ?3
10

④ ( ?3) ? ?3
⑤
4

( ?3) ? 3
4

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§2.1.1指数与指数幂的运算

【2】求下列各式的值.

⑴ ?32;
5

⑵ （? 3）;
4

⑶ （ 2 ? 3）;
2

⑷ 5? 2 6.
5

解: ⑴ 5 ?32 ?
4

5

(?2) ? ?2;
2 2 2

⑵ （? 3 ? [ ? 3) ] ? 9 ? 9; ） (
(3) （ 2 ? 3 ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2; ）
2

(4) 5 ? 2 6 ? （ 2 ? 3 ? 3 ? 2. ）
2

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§2.1.1指数与指数幂的运算

例2.填空: (1)在 6 ( ?2)2 n , 5 a 4 , 3 ? a 4 , 4 ( ?3)2 n?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4 2 n?1

(2) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的 a≥ 1 取值范围是______. 3
2

(3)已知a, b, c为三角形的三边,则

2b ? 2c （a ? b ? c) ? b ? a ? c ? ________.
2

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§2.1.1指数与指数幂的运算

例3．计算

(e ? e ) ? 4 ? (e ? e ) ? 4.

?1 2

?1 2

解： (e ? e ?1 )2 ? 4 ? (e ? e ?1 )2 ? 4.

? e ? e ? 2e e ? 4 ? e ? e ? 2e e ? 4
2 2

?2

1 ?1

?2

1 ?1

? e ?e ?2 ? e ?e ?2
2 2

?2

?2

? (e ? e ) ? (e ? e )

?1 2

?1 2

?| e ? e | ? | e ? e | ?1 ?1 ? (e ? e ) ? (e ? e ) ? 2e.
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?1

?1

§2.1.1指数与指数幂的运算

例4.求使等式 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2) x ? 2
2

成立的x的范围. 解 : ? ( x ? 2)( x2 ? 4) ? ( x ? 2)2 ? x ? 2? ? x ? 2 x ? 2.

? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 2) x ? 2. ? x ? 2 ? 0, 则有 x ? 2 ? 0, 或 ? ?| x ? 2 |? x ? 2. ? x ? ?2, ? x ? ?2, 或 ? 即 x ? ?2, 或x ≥ 2. ? x ? 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x ? ?2

, 或x ≥ 2.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 为 ? n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) n a n ? a;

(3) a ?| a | .
n n

4.若xn=a , x怎样用a表示？
?n a, n为奇数, ? ? ? n a , n为偶数, a ? 0, x?? a ? 0, ? 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ?
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§2.1.1指数与指数幂的运算

例1.求值：

5? 2 6 ? 7? 4 3 ? 6? 4 2.

解：原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ? 2? 2 ? 2 2.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

例2．如果 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 化简代 数式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | . 解： ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, ? 2 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 解之，得 1 ? x ? 2. 2
2

所以
2

2 x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0.

? (2 x ? 1)2 ? 2 | x ? 2 | ? 4x ? 4x ? 1 ? 2 | x ? 2 |

?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1) ? 2[?( x ? 2)] ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 3.
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§2.1.1指数与指数幂的运算

⑴若x表示实数，则下列说法正确的是（C ） A. x一定是根式 B. ? x一定不是根式 C . 5 x 6 一定是根式 D. 3 ? x只有当x ≥ 0才是根式

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五 : 指数与指数幂的运算

回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.

24=16 (-2)4=16 25=32

2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.

2n = a
xn =a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.

1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.

24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32

16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.

27=128

2是128的7次方根.

【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.

23=8 (-2)3=-8 (-2)5=-32

8的3次方根是2.

3 记作： 8 ? 2.

3 ?8 ? ?2. -8的3次方根是-2. 记作： 5 -32的5次方根是-2.记作： ?32 ? ?2.
7 128 ? 2. 128的7次方根是2. 记作：

27=128
奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数.

a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.

n

72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根

49的2次方根是7，-7.
记作： ? 49 ? ?7

81的4次方根是3，-3.

记作： ? 81 ? ?3
4

64的6次方根是2，-2.
6

记作： ? 64 ? ?2.

1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义

正数a的n次方根用符号 ? n a 表示(n为偶数）

(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
如果x n ? a, 那么
? n ? ? a , n ? 2k ? 1, k ? N , x?? ? n ? a , a ? 0, n ? 2 k , k ? N . ? ?

根指数

n

a

被开方数

根式

-8 9 ( ?8) ? ____. ( 9) ? ____,
2 3 3

由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.

(n a) n ? a
当n是奇数时, n a 对任意a?R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 ? n a (a ≥ 0)

(? a ) ? a
n n

(1)

5

2 ? 2,
5

3

（? 2） ? ?2.
3

结论:an开奇次方根,则有 n a n ? a.

(2) 32 ? 3, (?3)2 ? ?3, (?3)2 ? 3.

(3) 2 ? 2, (?2) ? ?2, （? 2） ? 2.
4 4 4 4 4 4

结论:an开偶次方根,则有

n

an ?| a | .

式子 n a n 对任意a ? R都

有意义.

公式1.

? a?
n

n

? a.

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n

a ? a.
n

适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.

公式3.

n

a ?| a | .
n

适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.

例1.求下列各式的值

（ 1） (?8) ;
3 3

(2)

(?10)2 ;

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解 ： ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b?

【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①

④ ).

①
③
5 5

4 5

16 ? ?2
5
5

② ( ?3) ? ?3
( ?3) ? ?3
10

④ ( ?3) ? ?3
⑤
4

( ?3) ? 3
4

【2】求下列各式的值.

⑴ ?32;
5

⑵ （? 3）;
4

⑶ （ 2 ? 3）;
2

⑷ 5? 2 6.
5

解: ⑴ 5 ?32 ?
4

5

(?2) ? ?2;
2 2 2

⑵ （? 3 ）? [ (? 3) ] ? 9 ? 9;
(3) （ 2 ? 3 ） ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2;
2

(4) 5 ? 2 6 ? （ 2 ? 3 ） ? 3 ? 2.
2

例2.填空: (1)在 6 ( ?2)2 n , 5 a 4 , 3 ? a 4 , 4 ( ?3)2 n?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4

2 n ?1

(2) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的 1 a ≥ 取值范围是______. 3
2

(3)已知a, b, c为三角形的三边,则

2b ? 2c （a ? b ? c) ? b ? a ? c ? ________.
2

例3．计算

(e ? e ) ? 4 ? (e ? e ) ? 4.

?1 2

?1 2

解： (e ? e ?1 )2 ? 4 ? (e ? e ?1 )2 ? 4.

? e ? e ? 2e e ? 4 ? e ? e ? 2e e ? 4
2 2

?2

1 ?1

?2

1 ?1

? e ?e ?2 ? e ?e ?2
2 2

?2

?2

? (e ? e ) ? (e ? e )

?1 2

?1 2

?| e ? e | ? | e ? e | ?1 ?1 ? (e ? e ) ? (e ? e ) ? 2e.

?1

?1

例4.求使等式 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2) x ? 2
2

成立的x的范围. 解: ( x ? 2)( x2 ? 4) ? ( x ? 2)2 ? x ? 2? ? x ? 2 x ? 2.

? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 2) x ? 2. ? x ? 2 ? 0, 则有 x ? 2 ? 0, 或 ? ?| x ? 2 |? x ? 2. ? x ? ?2, ? x ? ?2, 或 ? 即 x ? ?2, 或x ≥ 2. ? x ? 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x ? ?2, 或x ≥ 2.

1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 为 ? n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.

3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) n a n ? a;

(3) a ?| a | .
n n

4.若xn=a , x怎样用a表示？
?n a, n为奇数, ? ? ? n a , n为偶数, a ? 0, x?? a ? 0, ? 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ?

例1.求值：

5? 2 6 ? 7? 4 3 ? 6? 4 2.

解：原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ?

2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ? 2? 2 ? 2 2.

例2．如果 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 化简代 数式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | . 解： ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, 2 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 解之，得 1 ? x ? 2. 2
2

所以
2

2 x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0.

2 ? (2 x ? 1) ? 2| x?2| ? 4x ? 4x ? 1 ? 2 | x ? 2 |

?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1) ? 2[?( x ? 2)] ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 3.

⑴若x表示实数，则下列说法正确的是（C ） A. x一定是根式 B. ? x一定不是根式 C . 5 x 6 一定是根式 D. 3 ? x只有当x ≥ 0才是根式

二.分数指数幂
(1) a ? a
5 10
10 5

(2) a ? a
4 16
2

16 4

解:

当根式的被开 16 方数的指数能 (2) 4 a16 ? 4 ( a 4 ) 4 ? a 4? a 4 被根指数整除 时,根式可以写 成分数指数幂 思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数 的形式 整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?

(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10 5 2 5

10 5

如果幂的运算性质(2)(am)n=amn对于分数指数 2 2 ?3 2 幂也适用,则 3 3 3 （a ） ? a ?a
说明a 是a 2的3次方根， 2 3 2 而3 a2 也是a2的3次方根，于是有 a 3 ? a
2 3

1、分数指数幂的定义:
a
m n

?

n

a

m

（a>0,m,n ? N 且n>1）

?

注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子. 规定:正数的负分数指数幂:
a
? m n

?

1 a
m n

（a>0,m,n ? N ?且n>1）

同时: 0的正分数指数幂等于0；

0的负分数指数幂没有意义

3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂a ? a > 0, m, n∈ N*, n>1 ? 和整数指数幂an都是有理数 指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行计算.但整 数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂a 不可理
m m 解为 个a相乘，它是根式的另一种写法，规定：an = n am n m 1 1 m, n∈ N*, n>1 an= m = m, n∈ N*, 且n>1 在这样 ? a > 0, ?, ? a > 0, ?, n m a an 的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式 m n m n

不同而已.

3.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
(1)负数的负分数指数幂是否有意义， 应视m，n的具体数值而定. （2）对于根式运算，（简单问题可根 据根式的意义直接计算）一般可将根 式化为分数指数幂，利用分数指数幂 的运算性质进行计算.

2、有理指数幂的运算性质:
(1)a ? a ? a
r s r ?s

(a ? 0, r、s ? Q)同底数幂相乘,底数不变指数相加
幂的乘方底数不变,指数相乘 积的乘方等于乘方的积

(2)(a r )s =a r?s (a ? 0, r、s ? Q) (3)(a ? b)r =a rbr (a ? 0, r、s ? Q)

三、无理数指数幂

一般地，无理数指数幂 a? ( 无理数)是一个确定的实数.

? >0,? 是

有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

a a ?a
? ?

?

?

本文标题：指数与指数幂的运算-指数与指数幂的运算练习题
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