一 : 函数的单调性PPT

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二 : 函数的单调性PPT

1.3.1 函数的单调性

邢台市年生产总值统计表
生产总值 (亿元) 30 20 10

33.60 19.71 7 . 56 4.67 1985 1990 1994 1997 年份

邢台市年生产总值统计表
生产总值 (亿元) 30 20 10

33.60 19.71 7 . 56 4.67 1985 1990 1994 1997 年份

邢台市年生产总值统计表
生产总值 (亿元) 30 20 10

33.60 19.71 7 . 56 4.67 1985 1990 1994 1997 年份

邢台市日平均出生人数统计表
人数(人)

450 350 250 150

423 359 209 176 1985 1990 1994 1997 年份

邢台市耕地面积统计表
面积(万公顷) 33.96 34 32

32.32 30.78 29.80

30 28 1985

1990 1994 1997 年份

y
y＝x＋1
1

-1 O

x

y
y＝x＋1
1

y y
2 2 y＝－2x＋2 x 1 1 x O

-1 O

x

y
y＝x＋1
1

y y
2 2 y＝－2x＋2 x 1 1 x O

-1 O

x

y y
O
1

y＝－x2＋2x
2

x

y
y＝x＋1
1

y y
2 2 y＝－2x＋2 x 1 1 x O

-1 O

x

y y
O
1

y＝－x2＋2x
2

y

x

1 y? x x O

y

y?x

2

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1 O 0

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1O

x

y

y? x

2

f ( x1 ) O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x
f ( x1 )
O

2

x1

x

y

y? x f ( x1 )
2

O

x1

x

实例引入
观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律吗？ ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？

实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x)=x;
①从左至右图象上升还 上升 是下降? _______ (-∞，+∞) ②在区间 ________ 上， 随着 x的增大， f(x)的值随着 增大 ________ ．

实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（2）f(x)=x2． (-∞，0) ①在区间 ________ 上， 随着 x的增大， f(x)的值随着 减小 ________ ．
[0 ，+∞) ②在区间 ________ 上， 随着 x 的增大， f(x) 的值随着 增大 ________ ．

函数的单调性

从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上 变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是 函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的 一个重要性质——函数的单调性．

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
x1＜x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1＜x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1＜x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1＜x2? f(x1)＜f(x2)

x1

如何

用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1＜x2? f(x1)＜f(x2)

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f(x ) f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f(x ) f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f(x ) 在给定区间上任取x1, x2 f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f(x ) 在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 ? f(x1)＞f(x2) f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y 在给定区间上任取x1, x2 y ＝ f(x ) x1＜x2 ? f(x1)＜f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y ＝ f(x ) 在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 ? f(x1)＞f(x2) f(x1) f(x2) 函数f (x)在给定 x1 O x2 x 区间上为减函数.

函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 ? x2 时，都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，那么就说函 数 f ( x)在区间D上是增函数（increasing function）．

函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 ? x2 时，都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，那么就说函 数 f ( x)在区间D上是减函数（decreasing function）．

函数的单调性
如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或 减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格） 单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减

函数的图象是下降的．

典型例题
例1：下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1），
[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上 是减函数， 在[－2，1），[3，5）上是增函数.

y ? f ( x)

y 3
2 1

-5

-4

-3

-2

-1 O

1 -1

2

3

4

5 x

-2

典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p ? （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p ? （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

k 分析：按题意，只要证明函数 p ? 在区间（0， V +∞）上是减函数即可．

k 例2：物理学中的玻意耳定律p ? （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域 （0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则 取值 k k V2 ? V1 p?V1 ? ? p?V2 ? ? ? ? k 作差 V1 V2 V1V2 由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V2>0；

典型例题

由V1<V2 ,得V2－ V1>0． 又k>0，于是 p?V1 ? ? p?V2 ? ? 0

定号

下结论 即 p?V1 ? ? p?V2 ? k 所以，函数 p ? ,V ? ?0,?? ? 是减函数．也就是 V p将增大． 说，当体积V减小时，压强

证明函数单调性步骤

证明函数单调性的一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）； ⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形 （要注意变形到能判断整个差式符号为止）； ⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说 理的充分性）,必要时要讨论； ⑷下结论：根据定义得出其单调性.

反比例函数的单调性

（1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？ 证明你的结论．

1 画出反比例函数 y ? x 的图象．

反比例函数的单调性

1．请根据下图描述某装配线的生产效率 与生产线上工人数量间的关系．
生产效率

O

工人数量

反比例函数的单调性

2.根据图象说出函数的的单调区间，以及 在每一单调区间上，函数是增函数还是减函 数．
y
y=（x）

-1

O

1

2

3

4

5

x

知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的单调性及单调区间的概念； 2．根据定义证明函数的单调性的主要步 骤．

课后作业
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．作业P.39 A组 1.B组1

函数的单调性

中教育星软件技术有限公司 2006年1月制作

三 : 函数单调性课件ppt

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