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多项式除法-多项式的除法原理(综合除法)

发布时间:2018-05-15 所属栏目:综合除法

一 : 多项式的除法原理(综合除法)

多項式的除法原理(綜合除法)

1.多項式的除法定理:

設f(x)、g(x)是兩個多項式,且g(x)?0,則恰有兩多項式q(x)及r(x)使得 f(x=)q(?x)r(x)=0或degr(x)<deg g(x)。[www.61k.com] g(+x)成立,其中r

(1).f(x)稱為被除式,g(x)稱為除式,q(x)稱為商式,r(x)稱為餘式。

(2).被除式=除式×商式+餘式。

(3).簡式:A=BQ+R

2.綜合除法:

x2+2x+4除以x-1得到商式為x+3,餘式為 7

2 依照除法定理可表示成x+2x+4=(x-1)(x+3)+7

綜合除法的作法:

注意 1 + 2 + 4

"變號"(x-1)

餘式 所代表的是商式x+3

2+1=3

ax2+bx+c=(x-e)(fx+g)=fx2+(g-ef)x-eg (整除)

?a=f?依照比較係數法:?b=g-ef?g=b+ae

?c=-eg?c=-e(b+ae)=-be-ae2?

長除法表示:(已代換)

多项式除法 多项式的除法原理(综合除法)

ax+(b+ae)

2x-

ax+bx+c

ax-aex 2(b+ae)x+c

(b+ae)x-e(b+ae)

c+be+ae2

2?ax+bx+c=(-xe)[+ax+(b ae)]

綜合除法表示:

a + b +c

e +ae +e(b+ae)

a (b+ae) c+be+ae 2

餘式

思考1:

為何本來長除法中除式為(x-e),但是在綜合除法中卻變 (+e),請提出合理的解釋想法。[www.61k.com]

思考2:

設多項式f(x)=x3+3x2-4x+1,則

(1)請利用綜合除法,以x-1除f(x),商式為何?餘式為何?

(2)設f(x)=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d,則a、b、c、d為何?

Hinet:試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法,並比較之。

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二 : 多项式除法

2-3 多項式除法 PART I :主題探索區

1 單項式除以單項式

1 x ÷○ x 3 2 x 3

x 2 x =

4

4 ? 4x= ?4 x 3 2 ? 4x ÷○ 3x 3x 3

2 多項式除以單項式

化簡下列各式

2 ? 18x+ 16x 1 ○4x

9x 2 ? 4 2 (27 ○x 3 ? 2 )÷

1 Ans:○2 ○ ? 9 x + 4 2

3:求 5x 2 ? 15x + 50 除以 5x 的商式與餘式

解:

Ans:商式: x ? 3 餘式: 50 1

除式缺常數項要補 0

多项式除法 多项式除法

學習概念

1 降冪排列 ○2 缺項補 0(包含缺常數項) ○

2、建議以分離係數法解題

3:求 6x 2 ? 18x ? 13 除以 3x 的商式與餘式

4:求下列多項式除法的商式與餘式

(2 ? 3) (6x 2 ? + 7) ÷

解:

(分離係數法)

Ans:商式: 3x + 4 餘式:19

2

多项式除法 多项式除法

(2x 2 ? ? 3) ÷ (2 ? 3) 4:

商式:

餘式:

學習概念

2、若餘式=0,則稱為整除。[www.61k.com]

(6x 2 + 4 + 7) ÷ (2 + 3)

5商式: 3x ? 2 29餘式: 2

3

多项式除法 多项式除法

5-1:(9 x 2 + 5 + 7) ÷ (3 ? 2)

(5x 2 ? 6 ? 4) ÷ (5 + 1) 商式: 餘式:

商式:

餘式:

學習概念

多項式除法中,有缺項記得要補 0。(www.61k.com)

6:(4 x 2 ? 3) ÷ (2 x ? 1)

被除式缺一次項

解:

Ans:商式: 2 x + 1 餘式: ? 2

4

多项式除法 多项式除法

6-1:(15x 2

+ 4 ) ÷ (3 + 2)

解:

4 0

(7 x 2 ? 3) ÷ (3x + 1)

解:

3 + 1? 3

5 被除式缺常數項 商式: 餘式: 被除式缺一次項 商式: 餘式:

多项式除法 多项式除法

◎正整數與多項式除法比較表

7:一個多項式除以 2 x + 3 得到商式 5x ? 1 ,餘式為 7,試求

此多項式為何?

解: 此多項式=( 2 x + 3 )( 5x ? 1 )+7 先判別所求為被除式

=10x 2 + 13x ? 3 + 7 再利用 A = BQ + R =10x 2 + 13x + 4

Ans:10 x2 + 13x + 4

7:一個多項式除以 5x ? 7 得到商式 4x + 9 ,餘式為 -9,試求

此多項式為何?

解:

6

多项式除法 多项式除法

8:若A 為一多項式,且為何? 2 x2 ? 15x + 7 A = x ? ? 11 A ,求多項式 A

解: A = [2 x 2 ? 15 + 7 ? (? 11)]÷ ( ? 6)

( ? 6) = 2 x2 ? 15 + 18÷

[]

= 2 x ? 3

先判別所求為除式 再利用 除式 = (被除式 - 餘式) ÷ 商式

Ans: 2 x ? 3

3x2 + 11x + 8 8 B 為一多項式且= B +? 2 ,求多項式 B 為何?

x + 2 x + 2

提示:商式=(被除式-餘式) ÷ 除式 7

多项式除法 多项式除法

PART 2:學習檢測站

(4 x 2 ? 2 + 6) ÷ (2 + 1) 的商式= 1、求 餘式=

2、求 (?8x 2 + 10 ? 5) ÷ (?4 + 3) 的商式= 餘式=

(6x 2 ? 6 + 8) ÷ (2 ? 3) 的商式= 3、求 餘式=

4、求 (4x 2 + 1) ÷ (2x ? 1) 的商式= 餘式=

5、求 (?7 x 2 ? 9x ? 5) ÷ (7 x) 的商式= 餘式= 8

多项式除法 多项式除法

PART 3:進階挑戰題

1 右邊是多項式除法的計算過程,並以

a, b,c,d 表示係數,求 a + b + c + d =

9

多项式除法 多项式除法

2 求[(3x 2 ? 4x + 9) ? (? x 2 + 3x ? 6)] ÷ (x ? 1) 的餘式 10

多项式除法 多项式除法

3.將多項式 A = ( x + 4)( x ? 7) 減去某數後會變成 x ? 9 的倍數, 求某數是下列何數?

(A)-12 (B)26 (C)-10 (D)-1 11

多项式除法 多项式除法

4. 將 B = (3x + 1)( x ? 5) 減去 ax 後,就變成 3x ? 5 的倍數,則 a 可能為下列 何數?

(A)-6 (B)12 (C)-12 (D)6

12

多项式除法 多项式除法

PART IV:資源補給庫

(2x2 + 3 + 1) ÷ (4 ? 1),小明作多項式除法以分離係數

法求商式及餘式,作法如右:

1 7 15 小明怕算錯,以 (2 + 3 + 1) = (4 ? 1) × ( ) 作驗算,請 +2 8 8

問下列敘述何者正確?

(A) 此驗算方法正確,若 被除數 ≠ 除數 × 商 + 餘數,則

保證算錯了

(B) 此驗算方法錯誤,因為 被除數 = 除數 × 商 + 餘數 只適用於正整數

(C) 此驗算方法一定能保證你算對

(D) 小明作分離係數法過程錯誤,所以就算驗算方法正確也沒有用

正確答案(A)

多項式除法對習慣於正整數除法的學生而言,一開始很難接受。(www.61k.com]

1 降冪排列○2 缺項補零○3 直式分離係數法計算除了要注意○。且計算過

程又常出現分數,以至於學生對自己的解答信心不足 。

若以13 ÷ 4 = 3L1 為例,則由除法原理可知13 = 4 × 3 + 1

所以除法原理: A ÷ B = QL R → A = B × Q + R(為一恆等式,當 x = 1 代入亦成立)可作為驗算的方法。「若 A ≠ B × Q + R ,則保證算錯了, 趕快找出錯誤的地方訂正吧!」

13

多项式除法 多项式除法

但 A = B × Q + R 就一定能保證你一定算對嗎?答案是否定的。[www.61k.com) 今舉一錯解來討論:

( x 2 ? 2 + 1) ÷ ( + 1) 的商式與餘式。 解:

Ans:商式: x ? 2 餘式: ? x + 3

就上面例題來說,以 x 2 ? 2x + 1 = ( x ? 2)( x + ) + (? + 3)

→ 1 ? 2 + 1 = (1 ? 2)(1 + 1) + (?1 + 3) 來驗算是正確的,但是演算過程卻發

生了一個"明顯的錯誤",餘式的最高次和除式的最高次相同。(計 算過程本身有問題)

〝偵錯〞,但不能百分百保證你算對!

14

多项式除法 多项式除法

解答:

PART I :主題探索區

練習 3:

Ans: 商式: 2 x ? 6 餘式: ? 13 練習 4: Ans: 商式: x + 1 餘式: 0

練習 5:

1143 2 7131 商式: Ans:○3x + 餘式: ○商式: x ?餘式: ?3 3 5 5

練習 61 商式: Ans:○5x ? 2 餘式:4 餘

7 72 商式: x ? ○式: ? 3 9 9

練習 7

Ans: 20x 2 + 17 x ? 72

練習 8Ans: 3x + 5

15

多项式除法 多项式除法

PART 2:學習檢測站

1 2 Ans:○x ? 2 ,8 3 252 2 3 ○x ? 1 ,-2 ○3x ,

○4 2x + 1, 2 ○5 ? x ? 9 , ? 5

7

PART 3:進階挑戰題

1.

解:

Q 4ax = ?12x ∴ a = ?3

2x × 8 = cx ∴ c = 16 d ? (?24) = 18

d + 24 = 18

∴ d = ?6

b ? (?12) = c

b + 12 = 16 ∴ b = 4

故 a + b + c + d = ? 3 + 4 + 16 ? 6 = 11

Ans:11

16

2 2

多项式除法 多项式除法

2. 解:[3x 2 ? 4x + 9 + x 2 ? 3 + 6] ÷ ( ? 1)

( ? = (4x 2 ? 7 + 15) ÷1)

Ans:餘式 = 12 3. 解: A = ( x + 4)( x ? 7)

= 2 ? 3 ? 28 將 ( x 2 ? 3 ? 28) ÷ ( ? 9)

當某數為 26 時, x 2 ? 3x ? 28 ? 26 = 2 ? 3 ? 54 = ( x + 6)( x ? 9) Ans:(B)

17

多项式除法 多项式除法

4.

解:

B = (3x + 1)( x ? 5)

= 3 2 ? 14 ? 5

(3x 2 + x ? 5) ÷ (3 ? 5)

試作

所以 b = ?2 ? 14 x ? (ax = ? x ∴ a = ?12

Ans:(C)

18

三 : 多项式的除法原理(综合除法)

多項式的除法原理(綜合除法)

1.多項式的除法定理:

設f(x)、g(x)是兩個多項式,且g(x)?0,則恰有兩多項式q(x)及r(x)使得 f(x=)q(?x)r(x)=0或degr(x)<deg g(x)。 g(+x)成立,其中r

(1).f(x)稱為被除式,g(x)稱為除式,q(x)稱為商式,r(x)稱為餘式。

(2).被除式=除式×商式+餘式。

(3).簡式:A=BQ+R

2.綜合除法:

x2+2x+4除以x-1得到商式為x+3,餘式為 7

2 依照除法定理可表示成x+2x+4=(x-1)(x+3)+7

綜合除法的作法:

注意 1 + 2 + 4

"變號"(x-1)

餘式 所代表的是商式x+3

2+1=3

ax2+bx+c=(x-e)(fx+g)=fx2+(g-ef)x-eg (整除)

?a=f?依照比較係數法:?b=g-ef?g=b+ae

?c=-eg?c=-e(b+ae)=-be-ae2?

長除法表示:(已代換)

ax+(b+ae)

2x-

ax+bx+c

ax-aex 2(b+ae)x+c

(b+ae)x-e(b+ae)

c+be+ae2

2?ax+bx+c=(-xe)[+ax+(b ae)]

綜合除法表示:

a + b +c

e +ae +e(b+ae)

a (b+ae) c+be+ae 2

餘式

思考1:

為何本來長除法中除式為(x-e),但是在綜合除法中卻變 (+e),請提出合理的解釋想法。

思考2:

設多項式f(x)=x3+3x2-4x+1,則

(1)請利用綜合除法,以x-1除f(x),商式為何?餘式為何?

(2)設f(x)=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d,則a、b、c、d為何?

Hinet:試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法,並比較之。

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