一 : 数列{an}是公比为的等比数列，且1

数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)． (I)求数列{an}的通项公式及的值； (Ⅱ)比较+++ +与了Sn的大小．

题型：解答题难度：偏易来源：不详

（1）（2）

试题分析：解：（Ⅰ）由题意，即 解得，∴ 2分 又，即 4分 解得或（舍）∴ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知7分 ∴① 9分 又，11分 ∴② 12分 由①②可知 13分 点评：解决的关键是根据已知数列的特点，结合裂项法来求和，属于中档题。

考点：

考点名称：等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）仍为等差数列，公差为

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．

考点名称：等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较：

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。

二 : 一个等比数列an中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个?

一个等比数列an中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个?

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一个等比数列an中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个数列的通项公式,设等比数列an的公比为q（q≠0）则：a2=a1*q，a3=a1*q^2，a4=a1*q^3所以：a1+a1*q^3=133 ===>a1*(1+q^3)=133a1*q+a1*q^2=70 ========>a1*q*(1+q)=70………………（1）两式相除得到：(1+q^3)/[q*(1+q)]=1.9===>(1+q)(1-q+q^2)/[q*(1+q)]=1.9===>1-q+q^2=1.9q===>q^2-2.9q+1=0===>10q^2-29q+10=0===>(5q-2)(2q-5)=0===>q1=2/5，或者q2=5/2当q=2/5时代入(1)得到：a1*(2/5)*(7/5)=70所以，a1=125则，an=a1*q^(n-1)=125*(2/5)^(n-1)当q=5/2时代入(1)得到：a1*(5/2)*(7/2)=70所以，a1=8则，an=a1*q^(n-1)=8*(5/2)^(n-1)

三 : 在等比数列{an}中.a1＞0.n∈N*.且a3-a2=8.

试题详情
在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a3-a2=8，又a1、a5的等比中项为16．
（1）求数列{an}的通公式；
（2）设bn=log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说理由．
试题答案
分析：（1）利用等比数列的定义可求其公比q=a3a2=2，从而可求{an}的通公式；（2）依题意，可求bn=n+12，从而可求数列{bn}的前n项和为Sn，继而可得1Sn=43（1n-1n+3），从而可得1S1+1S2+…+1Sn＜229，于是可求kmin．解答：解：（1）设数列{an}的公比为q，由题意a1、a5的等比中项为16可得a3=16，又a3-a2=8，则a2=8，∴q=a3a2=2，∴an=2n+1．（2）∵bn=log42n+1=n+12，bn+1=n+22，bn+1-bn=12，∴数列{bn}是首项为1，公差为12的等差数列，∴Sn=b1+b2+…+bn=(1+n+12)n2=n(n+3)4，∴1Sn=4n(n+3)=43（1n-1n+3），∴1S1+1S2+…+1Sn=43（1-14+12-15+13-16+…+1n-1n+3）=43（1+12+13-1n+1-1n+2-1n+3）=43×116-43×（1n+1+1n+2+1n+2）=229-43×（1n+1+1n+2+1n+2）当n=1时，1S1=1＜2＜229，当n≥2时，1S1+1S2+…+1Sn=229-43×（1n+1+1n+2+1n+2）＜229．故存在最小的正整数k=3，使得1S1+1S2+…+1Sn＜3对任意n∈N*恒成立．点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的定义及通项公式，突出考查裂项法求和，考查推理与运算能力，属于难题． 本文标题：在等比数列an中-数列{an}是公比为的等比数列，且1
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