一 : 1
1
二 : 1
三 : 1)Canyoutellmehowmanystudentsthe?
Can you tell me how many students there are in your class?
1) an you tell me how many students there are in your class?
这句对吗？ 是 there are 还是 are there
2)we are going to have fan learning and speaking english this term.
learn 和 speak 为什么要加 ing 呢？
3)please 后面一般可以跟什么？如果是动词要用原形吗？
4)of+什么 可以变成形容词 呢？
5)can never是什么意思呢？
6)i am agree 这句对吗？
7)would you like to come over to my home?和would you like to come to my home?
有什么区别吗？
8)that's what they are selling at the store.
这句话的意思是？
9)有哪些及物动词可以用动词不定式作宾语
10)say,talk,tell这三个词有什么区别？
1) Can you tell me how many students there are in your class?
这句对吗？ 是 there are 还是 are there
这句话没有错误，因为后面是一个宾语从句，宾语从句中的特殊疑问句的词序是不变的
2)we are going to have fan learning and speaking english this term.
learn 和 speak 为什么要加 ing 呢？
其实是，have fun in doing sth. 这里省略了in
3)please 后面一般可以跟什么？如果是动词要用原形吗？
是不是需要动词原形根据具体情况而定，一般的情况，please后面是一个祈使句please 是一个副词，修饰动词，但是可以在句子前面、中间、后面，所跟的词就不一样
4)of+什么 可以变成形容词 呢？
of 后面跟抽象名词，就可以变成形容词性质，比如 of great importance 等于very important
5)can never是什么意思呢？
不会，不能的意思，有时候需要根据上下文来理解
6)i am agree 这句对吗？
不对，i agree.
7)would you like to come over to my home?和would you like to come to my home?
有什么区别吗？
没有什么太大区别，只不过语气上的不同
8)that's what they are selling at the store.
这句话的意思是？
这就是他们商店出售的东西
9)有哪些及物动词可以用动词不定式作宾语
不太了解
10)say,talk,tell这三个词有什么区别？
say只是一般地说，及物动词，可以后面跟说的内容,talk为不及物动词，表示说话的神态多一些，比如I don't like the way he talks，就用talk,而不能用其他两个，tell是告诉而不是说,及物动词，与上面两个区别很明显。
四 : sy1-1
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
欢迎您走进 《微积分》
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
授课教师： 沈 助课教师： 鲍
Tel: 82519384
艳 婕
E-mail: shenyan @hrbeu.edu.cn
baojie0909@126.com
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
课程基本信息 课程编号：0911001 课程名称：微积分（一 ） 开课学期：第一、二学期 学时数： 88+104=192学时； 学分： 5.5+6.5=12学分 考核方式：平时+期中+闭卷考试
第一学期 微积分（一）
使用教材
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
《微积分教程》
哈尔滨工程大学主编
教学参考书
《高等数学》
同济大学主编 高等教育出版社
《微积分教程学习指导与习题精解》哈尔滨工程大学
《高等数学知识要点与习题解析》哈尔滨工程大学出版社
网上资源
哈尔滨工程大学网站: 省精品课程《高等数学》
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
数学 不仅是一种工具,
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
而且是一种思维模式; 数学 不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化; 能否运用数学观念定量思维是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志.
引
一、什么是高等数学 ?
言
哈 尔 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 滨 工 高等数学 —研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 程 大 数学中的转折点是笛卡尔的变数. 学
有了变数 , 运动进入了数学,
微 积 分 （ 一 ）
有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 恩格斯 为必要的了,而它们也就立刻产生.
主要内容
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续(上册) 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 无穷级数(下册) 4. 常微分方程(下册)
二、如何学习高等数学 ?
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
课程基本要求 怎么学？
关于听课—— 专心，边听边记 关于复习—— 认真，课后巩固 关于练习—— 动手，勤想多练
作业要求： 每次课后交作业，保质保量完成。
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
第一章
函数与极限
分析基
础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
第一章
映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
常用的 逻辑符号：
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
“?”表示“任意的”。 “?x ? R”表示“对于任意的实数x”。
“?”表示“存在”。
“?a , b ? Q , a ? b , ?c ? Q且c ? a , b）” （
任意两个有理数 a, b 之间, 存在有理数c.
一、集合
哈 1. 定义及表示法 简称集 尔 滨 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 工 简称元 组成集合的事物称为元素. 程 大 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . 学
元素 a 属于集合 M , 记作 a? M .
微 积 分 （ 一 ）
元素 a 不属于集合 M , 记作 a ? M ( 或 a? M ) .
注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集 ; M
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
?
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
n 哈 例: 有限集合 A ? ? a1 , a2 , ? , an ? ? ? a i ? i ?1 尔 滨 自然数集 N ? ? 0 , 1 , 2 , ? , n ,? ? ? ? n ? 工 程 (2) 描述法： ? ? x x 所具有的特征 ? M 大 学 例: 整数集合 Z ? ? x x ? N 或 ? x? N ? ?
微 积 分 （ 一 ）
? ? p 有理数集 Q ? ? p ? Z , q ? N ? , p 与 q 互质 ? ? ? q 实数集合 R ? ? x x 为有理数或无理数?
开区间 ( a , b ) ? ? x a ? x ? b ? 闭区间 [ a , b ] ? ? x a ? x ? b ?
半开区间
哈 尔 无限区间 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
a ?? a a ??
(
)
点的 ? 邻域
去心 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
哈 尔 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x ? A 必有 x ? B , 则称 A 滨 工 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A ? B . 程 大 则称 A 与 B 相等, 记作 A ? B . 且 若 学
例如,
微 积 分 （ 一 ）
,
, ?
显然有下列关系 :
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
并集 A ? B ? ? x
交集 A ? B ? ? x 差集 余集
或
? ?
A? B
B A
A\ B
A? B
且
且 x ? B?
A \ B ? ?x
c B A ? A \ B ( 其中B ? A )
Ac BA
B
直积 A ? B ? ? ( x , y ) x ? A , y ? B ? 记 特例: R ? R R2 为平面上的全体点集
y
B
A? B
O
A
x
二、 映射
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
引例2.
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 引例3. 积 分 （ 一 ）
(点集) (点集) 向 y 轴投影
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 有唯一确定的 与之对应,
则称 哈 则 f , 使得 尔 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 f : X ? Y. 滨
工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y ? f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 R f ? f (X ) ?? f ( x) x ? X ? 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
对映射
哈 尔 滨 工 程 大 学
若 f ( X ) ? Y , 则称 f 为满射;
X
若
f
Y ? f (X )
有
X
Y
微 积 则称 f 为单射; 分 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. （ 一 ）
例1.
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射)
r
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
哈 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 尔 滨 名称. 例如, 工 f f 称为X 上的泛函 X (≠ ? ) Y (数集) 程 大 f f 称为X 上的变换 X (≠ ? ) 学 X 微 积 分 （ 一 ）
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
三、函数
哈 1. 函数的概念 尔 滨 定义5. 设数集 D ? R , 则称映射 工 D 上的函数 , 定义域 记为 程 y ? f ( x) , x ? D 大 学 因变量 自变量 微 积 分 （ 一 ）
为定义在
称为值域 函数图形:
y R f ? f ( D) ? ? y y ? f ( x), x ? D ? y
C ? ? ( x , y ) y ? f (x) , x ? D ? D ? f (D)
?
O
a x b ( D ? [a, b] )
x
?x?D y ? R f ? f ( D) ? ? y y ? f ( x), x ? D ? (定义域) (对应规则) (值域)
哈 尔 ? 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 滨 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 工 程 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. y 大 ? 学 ? 对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法 2
f
例如, 反正弦主值
微 定义域 积 分 （ 又如, 绝对值函数 一 定义域 ）
?1
值域
O
1x
?? 2
值
域
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
2. 函数的几种特性 设函数 y ? f ( x) , x ? D , 且有区间 I ? D . (1) 有界性 ? x ? D , ?M ? 0 , 使 f ( x) ? M , 称 f (x) 为有界函数. ? x ? I , ?M ? 0 , 使 f ( x) ? M , 称 f (x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 ? x1?2 ? ( x)当?M2 时， , x, f I , x1 x , 称 为有上界 y ?
若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 ?, M ? f ( x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若对任意正数 M , 均存在 x ? D, 使 O f ( xx1 ? x 2 , x 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 则称 f ( x ) 无界. 单调减函数 .
(3) 奇偶性
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
? x ? D, 且有 ? x ? D,
若 则
称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
?x O
?x
xx
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) ? 0.
例如,
e x ? e? x y ? f ( x) ? 偶函数 2 记 ? ch x 双曲余弦
e
y x e
y ? ch x
O
x
e ?e 又如, y ? f ( x) ? 2 哈 记 尔 ? sh x 双曲正弦 滨
x
?x
奇函数 e ? x
y
ex
y ? sh x
x
工 程 再如, 大 学 微 积 分 （ 一 ）
sh x ? e ? e y? x ?x ch x e ? e
x
?x
O
奇函数
记
? th x 双曲正切
y 1
说明: 给定 f ( x), x ? (?l , l ) f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) ? 则 f ( x) ? 2 2 偶函数 奇函数
O ?1
y ? th x x
(4) 周期性
哈 尔 滨 则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ) 工 y 程 大 学 ?2 π ?π O π 2 π x 微 积 分 （ 一 ）
? x ? D, ? l ? 0 , 且 x ? l ? D, 若
周期为 ? 例如, 常量函数 f ( x) ? C
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
狄利克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 哈 尔 为单射, 则存在一新映射 若函数 滨 工 使 其中 程 大 称此映射 f ?1 为 f 的反函数 . 学 习惯上, y ? f ( x) , x ? D 的反函数记成
微 积 分 （ 一 ）
y ? f ?1 ( x) , x ? f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) , 其反函数 且也单调递增 (减) .
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
反函数
y
函数 y ? f ( x )
y0
y
反函数 x ? ?( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
哈 尔 滨 工 程 大 学
2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
y
Q(b, a)
y?x y ? f (x)
例如 ,
指数函数 y ? e x , x ? (?? , ? ? )
O
x
微 对数函数 积 分 （ 它们都单调递增, 其图形关于直线 一 ）
互为反函数 , 对称 .
例如，y ? x (0 ? x ? ??) 的反函数为 y ? x :
2
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
y ? sin x ( ? ? ? x ? ? ) 的反函数为 y ? arcsin x ; 2 2
y ? cos x (0 ? x ? ? ) 的反函数为 y ? arccos x ;
y ? e x ( ?? ? x ? ??) 的反函数为 y ? ln x :
y
如何求 反函数？
1
y?e
x
y? x
y ? ln x
x
O
1
(2) 复合函数
哈 ① 尔 滨 ② 且 Rg ? D f 工 程 则 大 学 称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 微 积 分 2 （ 当改 u ? 1 ? x 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 一 ） 但可定义复合函数 y ? arcsin(1 ? x 2 ) , x ? [?1, 1]
设有函数链 y ? f (u ), u ? D f
注意: 构成复合函数的条件 Rg ? D f 不可少. 可定义复合函数 例如, 函数链 : y ? arcsinu ,
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
哈 尔 滨 工 程 大 学
y? u, u?0 u ? cot v , v ? k π (k ? 0, ? 1, ? 2 ,?) x v ? , x ? (??, ? ?) 2 可定义复合函数:
k ?Z
微 积 约
定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 分 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件. （ 一 x π x k π ? ? k π ? 时 , cot ? 0 ）
2
2
2
4. 初等函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
微 否则称为非初等函数 . 积 ? x , x ? 0 可表为 y ? x 2 , 故为初等函数. 分 例如 , y ? ? ?? x , x ? 0 （ 一 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ）
( 自学, P17 – P20 )
函数的分类
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
函 数
初 等 函 数
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
非初等函数举例:
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
(1) 符号函数
? 1, ? y ? sgn x ? ? 0, ? ? 1, ? x ? 0; x ? 0; x ? 0. y
1
| x | ? x ? sgn x
y ? sgn x
x
O
?1
(2) 取整函数 y = [x]; [x]表示不超过 x 的最大整数.
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
例如, [0.5]=0, [– 0.5]= – 1.
y
?3 ?2 ?
?
?
?
?
y ? [x]
? ? ?3 ?2 ? ?
?
?1 ?
? ? ? ?1 O 1 ? ? ?1 ? ?
? 2
? 3
x
??2 ??3
(3) 绝对值函数
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
? x , x ? 0; y ?| x|? ? ? ? x , x ? 0.
y
y ?| x|
x
O
(4) 一个分段函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
? 2 x , 0 ? x ? 1; y ? f ( x) ? ? ?1 ? x , x ? 1.
y
y ? f ( x)
2
y ? x ?1
y?2 x
微 O 1 积 分 (5) 一个画不出图形的函数 （ 一 ?0, x为无理数; ） y ? D( x ) ? ?
x
?1, x为有理数.
?3x ? 1 , x ? 1 求 f [ f ( x)]. , 例5. 设函数 f ( x) ? ? x ?1 ?x , 哈 尔 x 换为 f (x) 解: 滨
工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
? 3 f ( x) ? 1 , f ( x) ? 1 f [ f ( x)] ? ? f ( x) ? 1 ? f ( x) ,
x?0
3(3x ? 1) ? 1
9x ? 4 , x ? 0
?
3x ? 1 , 0 ? x ? 1 x, x ?1
哈 尔 滨 工 程 大 学
微 积 分 （ 一 反函数 ）
x , ?1 ? x ? 0 例6. 求 y ? ln x , 0 ? x ? 1 的反函数及其定义域. y 2 e x ?1 , 1 ? x ? 2 2e 2 解: 当 ? 1 ? x ? 0 时, y ? x ? ( 0 , 1] , 则 x ? ? y , y ? ( 0 , 1] 当 0 ? x ? 1 时, y ? ln x ? ( ? ? , 0 ] , 2 1 则 x ? ey , y ?( ? ?, 0] 当 1 ? x ? 2 时, y ? 2 e x ?1? ( 2 , 2 e ] , ? 1O 1 2 x y 则 x ? 1 ? ln 2 , y ? ( 2 , 2 e ]
2
y?
定义域为
( ? ? , 1] ? ( 2 , 2 e ]
内容小结
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要
素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构
定义域
对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
备用题
时 其中 哈 尔 a, b, c 为常数, 且 证明 为奇函数 . 滨 工 证: 令 t ? 1 , 则 x ? 1 , a f ( 1 ) ? b f (t ) ? ct 程 t t x 大 学 1. 设
且
由
微 积 分 （ 一 ）
a f ( 1 ) ? b f ( x) ? c x x
x
消去 f ( 1 ), 得
为奇函数 .
2 . 设函数 y ? f ( x) , x ? (?? , ? ?) 的图形与 x ? a ,
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
y ? b (a ? b) 均对称, 求证 y ? f (x) 是周期函数.
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a ? x) ? f (a ? x),
于是
f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( 2a ? x )
f (x) ?
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 （ 一 ）
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