一 : 怎么用matlab进行复合函数二阶求导

怎么用matlab进行复合函数二阶求导

怎么用matlab进行复合函数二阶求导的参考答案

可用diff函数实现：

例如u=3x, y=u^2, y对x求二阶导数：

syms x y u;

u = 3*x;

y = u^2;

diff(y,x,2)

结果：

ans =

18

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二 : 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

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函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

三 : 复合函数求导

1.2.3复合函数求导

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) ? g ( x) ? ? f ?( x) ? g ?( x)

?

?

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: ? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5

y? ? 0
4
-2

(2) y= x
(3) y= x

?2 y? ? ?2 x ? 3 x
?3

y? ? 4 x

3

x (4) y= 2

y? ? 2 ln 2
x

(5) y=log3x y? ?

1 x ln 3

练习2、求下列函数的导数。
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx

思考？如何求函数

y ? ln ?x ? 2?

的导函数：

复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),

如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称
这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，

记作y=f(g(x)).

如下函数由多少个函数复合而成：

1. y ? sin 2 x 2 2. y ? ? 2 x ?1 2 3. y ? (sin 2 x ? 1) 4. y ? ln ? x ? 2?

复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 yx ' ? yu '?u x '

例4 求下列函数的导数

(1) y ? (2 x ? 3)

2

解： (1)函数y ? (2 x ? 3)2 可以看作函数y ? u 2和 u ? 2 x ? 3的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (u )'?(2 x ? 3)'
2

? 4u ? 8 x ? 12

(2) y ? e
解： (1)函数y ? e

?0.05 x?1

?0.05 x ?1

可以看作函数y ? e 和
u

u ? ?0.05 x ? 1的复合函数。根据复合函数求导法则有

yx ' ? yu '?u x ' ? (e )'?(?0.05 x ? 1)'
u

? ?0.05e ? ?0.05e

u ?0.05 x ?1

(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?，?均为常数)
解： (1)函数y ? sin( ?x ? ? )可以看作函数y ? sin u和 u ? ?x ? ?的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (sin u )'?(?x ? ? )' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ?

)

小结： 复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等， 再求导：y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法
作业本：“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1 4 t 4

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 ?3 ?4 ? ? ? 解：y ? 3 , y ? ( 3 ) ? ( x ) ? ?3 x ; x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,
从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? (?4) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

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