一 : 定义新运算“*”，规则：a*b=a(a≥b)b(a＜b)，如1*2=2，(

定义新运算“*”，规则：a*b= a(a≥b) b(a＜b) ，如1*2=2，(- 5 )* 2 = 2 ．若x2+x-1=0的两根为x1，x2，则x1*x2=______．

题型：填空题难度：中档来源：荆州

在x2+x-1=0中， a=1，b=1，c=-1， ∴b2-4ac=5＞0， 所以x1= -1+ 5 2 ，x2= -1- 5 2 或x1= -1- 5 2 ，x2= -1+ 5 2 ． ∴x1*x2= -1+ 5 2 * -1- 5 2 = -1+ 5 2 ．

考点：

考点名称：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系：
如果方程的两个实数根是那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

一元二次方程根与系数关系的推论：
1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p_^， x_1`x₂₌q
2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
提示：
①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0

二 : 定义新运算(含答案)-

七年级奥赛练习题:定义新运算

班级 姓名

规定新的代数运算是一类较新颖的数学问题，它是以近世代数为背景的。[www.61k.com］近年来，多次出现在国内外的数学竞赛题中。解这类问题的关键在于认识新运算的含义。在计算时严格遵照规定的法则代入数值。值得注意的是，这样规定的新运算未必满足通常的结合律及交换律。

一、填空题:

1．对任意有理数A、B，规定A*B=

2．A～B=A?B

A?B?1A?B2，则1*9= 。 ，则2002～2003= 。

2a?b

2ab3．“*”表示一个运算符号，它的一个意思是：a*b=

4．对于正有理数，运算“*”定义为a*b=

2，则5* (3*2)= 。 aba?b，则4* (4*4)= 。 5．规定f(a)=a＋2a＋3, 则f(2)= 。

6．定义a△b=ba＋ab，则4△50= 。

7．若规定运算a*b=2(a＋b)，则(a*b)*2= 。

8．若规定A△B=3A＋4B，则(4△5)△6= ，若7△B=45，则B= 。

9．对有理数a、b，规定a*b=ab－a－b＋1，如果(x*x)*2=0，则 。

10．如果定义运算“*”，使得3*2=32＋42=25，4*3=42＋52＋62=77，则6*5= 。

二、解答题:

11．“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=

1

31xy＋1(x?1)(y?A)。 已知2*3=

，求2002*2003。 1

定义新运算 定义新运算(含答案)-

12． a、b为有理数，当a≥b时，a*b=b，当a＜b时，a*b=b－a。（www.61k.com)若2*x=36,求x的值。

13．x是实数，﹤x﹥表示不超过x的素数的个数，如﹤5﹥=3，即不超过5的素数有2，3，5三个。求﹤﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥﹥的值。

14．对于有理数x、y定义一种运算“*”，规定x*y=ax＋by－cxy，其中a，b，c为已知数，等式右边是加、减、乘法运算，又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x(m≠0)。试求m的值。

2 a

定义新运算 定义新运算(含答案)-

答案

一、填空题:

1．5 2．1001 3．29

10

2 4．432 5．11 6．6250200 7．4a＋4b＋4 8．120，6 9．0或2 10．6＋7＋8＋9＋10=330

二、解答题:

11．由2*3=1

2?3222＋1

3?(3?A)=1

3，得A=－1，所以2002*2003=1

2005003

12．分情况讨论，当x≥2时，由2*x=x2=36，得到x=6；当x＜2时，由x*x=x－2=36，得到x=38（舍去）。（www.61k.com)所以x的值为6。

13．﹤19﹥=8, ﹤9﹥=4, ﹤1﹥=0,﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥=8×4＋0=32, ﹤32﹥=11。

14．由已知x*m=x(m≠0)，可令x=0，所以有0*m=bm=0。

∵m≠0，∴b=0。所以x*y=ax＋－cxy。

再由1*2=3，2*3=4，得到a－2c=3，2a－6b=4，解得a=5，c=1。

所以x*y=5x－xy。

再令x=1，得1*m=1，得5－m=1，于是m=4。

3

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三 : 数学f1初中数学新定义运算1

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新定义运算

定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。(www.61k.com]在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解新定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。

典型例题

例【1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值.

分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

解 由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）

可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）

＝（5＋21）×12

＝26×12

＝312

例【2】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

解 由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；

6△（3△4）

＝6△1

＝（6＋1）÷1

＝7

例【3】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。

分析 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。

解 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。

例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]

分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]

＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]

＝6×5

＝30

1

定义新运算 数学f1初中数学新定义运算1

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例【5】 如果1※2＝1＋11

2※3＝2＋22＋222

3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

计算：（5※3）×5。[www.61k.com）

分析 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。

解 （5※3）×5。

＝（5＋55＋555）×5

＝3075

例【6】（2006?嘉兴）．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结

果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为n（其中k是使n为奇数的正整数），2k2k

并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

26 F② 第一次 13 F① 第二次 44 F② 第三次 11 ?

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

分析：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5=1352（偶数），

需再进行F②运算，即1352÷23=169（奇数），

再进行F①运算，得到3×169+5=512（偶数），

再进行F②运算，即512÷29=1（奇数），

再进行F①运算，得到3×1+5=8（偶数），

再进行F②运算，即8÷23=1，

再进行F①运算，得到3×1+5=8（偶数），?，

即第1次运算结果为1352，?，

第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，?，

可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，

从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8． 故本题答案为：8．

练习题：

1. 设a,b表示两个不同的数,规定a?b?4?a?3?b.求(4?3)?2.

2. 定义运算“?”为x?y?2xy?(x?y).求12?(3?4).

3. 设a,b表示两个不同的数,规定a?b?3?a?2?b,如果已知4?b?2.求b. 2

定义新运算 数学f1初中数学新定义运算1

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4. 定义新的运算a?b?a?b?a?b.求(1?2)?3.

5. 有一个数学运算符号“?”,使下列算式成立:2?4=10,5?3=18,3?5=14, 9?7=34.求7?3=?

6. 定义新运算为a?b?

a?1.求2?(3?4)的值. b

7. 对于数x,y规定运算“○”为x○y?(a?4)?(b?3).求7○(8○9)的值.

8. 设a?b表示a的3倍减去b的2倍,即a?b=3a?2b,已知x?(4?1)=7.求x.

9. 定义两种运算“?”、“?”,对于任意两个整数a,b,a?b?a?b?1,

a?b?a?b?1.计算4?[(6?8)?(3?5)]的值.

10. 对于数a,b规定运算“?”为a?b?(a?1)?(1?b),若等式(a?a)?(a?1) ?(a?1)?(a?a)成立,求a的值.

11. x,y表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x※y?5x?4y,x○y?6xy.求(3※4)○5的值.

12. 设a,b分别表示两个数,如果a?b表示

5)]的结果是什么?

a?b,照这样的规则,3?[6?(8? 3

13. 规定x?y?

Ax?y,且5?6=6?5,求(3?2)×(1?10)的值. xy3

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14. 有一个数学运算符号“○”,使下列算式成立:12347115○?,○?,○236594561634?.求○的值. 742115

小结 解决新定义运算问题，首先理

解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。［www.61k.com)

4

四 : 新定义运算

定 义 新 运 算

导言:

加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则，我们都很熟悉，在近年来竞赛中，出现了一种由一些新定义的运算符号导出的运算。即定义一些别的运算，如◎表示一种的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-(a+b)，这种新运算的意义就是：a◎b是两个数的积减去两个数的和所得到的差。这就是定义新运算问题。这里所说的“定义”，就是按照规定的运算法则进行计算。解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算。这类题目目的是培养学生的数学阅读理解能力

例1．规定a★b=5a-3b，其中a、b是自然数，求

（1）6★8的值（2）8★6的值 （3）（3★2）★4（4）x★7=19

解析：此题规定了一种新运算符号（★），我们要理解它的意思，a★b表示a的5倍减去b的3倍，把表示a、b的数代入等式右边的（5a-3b）中，并算出结果来。

（1）此时，a=6，b=8，那么a★b=6★8=5×6-3×8=6

（2）此时，a=8，b=6，那么a★b=8★6=5×8-3×6=22

（3）在计算（3★2）★4时，运算的顺序是先算括号内的，再算括号外

（3★2）★4=（5×3-3×2）★4 =9★4=5×9-3×4=33

（4）x★7=19 即5x-3×7=195x-21=19 5x=40 x=8

例2．如果2♀3=2+3+4，5♀4=5+6+7+8，

求（1）9♀6的值（2）解方程：x♀3=15

解析：♀表示求连续自然数的和，♀前的数表示连续自然数的第一个数，♀后面的数表示连续自然数的个数

（1）9♀6=9+10+11+12+13+14=69

（2）x♀3=15 即x+（x+1）+（x+2）=15 解得x=4

例3．规定□的运算法则如下，对于任何整数a，b，有

（1）当a+b≥10时，a□b=2×a+b-1

（2）当a+b<10时，a□b=2×a×b

求(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）的值

解析：这道题实际上定义了两种运算，必须根据a、b两数的和的大小，来确定对它们施行哪种新运算。1□2、2□3、3□4、4□5这几个中，a、b的和都会小于10，运用（2）中的新运算，即a□b=2×a×b；而5□6、6□7这两个中，a、b的和大于10，运用（1）中的新运算，即a□b=2×a+b-1

所以，(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）

=2×1×2+2×2×3+2×3×4+2×4×5+（2×5+6-1）+（2×6+7-1）

=4+12+24+40+15+22=117

例4．有一个数字符号“※”使下列算式成立：6※2=12，4※3=13，3※4=15，5※1=8，按此规律计算：8※4的值

解析：仔细观察和分析这几个算式，可以发现：6※2=12=6+2×3，4※3=13=4+3×3，3※4=15=3+4×3，5※1=8=5+1×3，即符号※前面的数加上符号※后面数的三倍，a※b=a+3b。所以8※4=8+4×3=20

例5．小明来到红毛族探险，看到下面向个红毛族的算式：

8×8=8，9×9×9=5，9×3=3，(93+8)×7=837

老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+、-、×、÷、（）、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们的写法相同，但代表的数却不同。

请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57=()

解析：对红毛族算式“8×8=8”的理解是：两个相同的数相乘，积还是这个数，说明算式中的“8”相当于我们的数字“1”或“0”；对红毛族算式“9×3=3”的理解是：一个数乘以另一个数，积还是另一个数，可推出红毛族算式中的“3”相当于我们的数字“0”，那么“8”相当于我们的数字“1”。对红毛族算式“9×9×9=5”的理解是：三个相同的数相乘，积还是一位数，说明算式中的“9”相当于我们的数字“2”算式中的“5”相当于我们的数字“8”。根据红毛族算式“(93+8)×7=837”我们很容易推出算式中的“7”相当于我们的数字“5”。

所以，红毛族的“89×57”换成我们的算式就是“12×85=1020”，再把我们的数字“1020”换成红毛族的数字就是“8393”，即89×57=8393

例6．有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置C：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6。这些装置可以连接，如装置A后面连连接装置B，写成A∮B，输入4，结果是24；装置B后面连接装置A，就写成B∮A，输入4，结果是35；

（1）装置A∮C∮D连接，输入19，结果是多少？

（2）装置D∮C∮B∮A连接，输入什么数字，可得结果96

解析：由“装置A后面连连接装置B，写成A∮B，输入4，结果是24”，我们可清楚24是怎么算出来的，24=4×5+3。即，输入一个数后，先进行前面装置的运算，运算结果再进行后一装置的运算。

（1）（19×5）÷4-6=17.75

（2）倒推法。（96÷5-3）×4+6=70.8

小结:正确理解新运算所表示的意义,严格按照规定的法则进行运算.这是正确解答这类问题最关键的思维

五 : 定义新运算：我们定义＝ad－bc，例如＝2×5－3×4＝－2．则(填最后的结果).

定义新运算：我们定义＝ad－bc，例如＝2×5－3×4＝－2． 则(填最后的结果).

题型：填空题难度：偏易来源：不详

23

解：由题意得，

考点：

考点名称：有理数定义及分类有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
正整数
整数{ 零
负整数
有理数{
正分数
分数{
负分数


（2）按有理数的性质分类:
正整数
正数{
正分数
有理数{ 零
负整数
负数{
负分数考点名称：正数与负数

正数：
就是大于0的（实数）
负数：
就是小于0的（实数）
0既不是正数也不是负数。

非负数：正数与零的统称。
非正数：负数与零的统称。

正负数的认识：
1.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：-a一定是负数吗？
答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数。
若a表示正数时，-a是负数；
当a表示0时，-a就是在0的前面加一个负号，仍是0，0不分正负；
当a表示负数时，-a就不是负数了，它是一个正数。

2.引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，
如…－6，－4，－2，0，2，4，6…，不能被2整除的数是奇数，如…－5，－4，－2，1，3，5…

3.数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数；
但研究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。

4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；
负整数和0统称为非正整数。

考点名称：数轴数轴定义：
规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。
数轴具有三要素：
原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。
数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数：
每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。
1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。
2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。
3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。
数轴的画法：
1.画一条直线（一般画成水平的直线）；
2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；
3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；
4.选取适当的长度为单位长度，
从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；
从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

数轴的应用范畴:
符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反—2）
在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。

考点名称：相反数

相反数的定义：
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
相反数的几何意义：在数轴上到原点距离相等的两个点表示的两个数叫做互为相反数。
相反数的代数意义：如果两个数的和为零，其中一个数是另一个数的相反数，这两个数称为互为相反数。

相反数的特性：
1、若a，b互为相反数，则a+b=0; 反之,若a+b=0，则a,b互为相反数；
2、在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称；
3、此时，b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”。
4、相反数的规律：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
5、相反数的表示方法：a的相反数是-a，-a的相反数是a；a-b的相反数是b-a，b-a的相反数是a-b；a+b的相反数是-（a+b），即-a-b。

(互为)相反数的代数意义：
1、只有符号不同的两个数称互为相反数。a和-a是一对互为相反数，a叫做-a的相反数，-a叫做a的相反数。注意：-a不一定是负数。a不一定是正数。（a不等于0）
2、若两个实数a和b满足b=﹣a。我们就说b是a的相反数。
3、两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。也可以说实数a和b满足a+b=0，则这两个实数a,b互为相反数。

相反数的判别：
我们在利用相反数的概念进行化简时，很多情况下，把括号里的部分看成一个整体（即想象成一个数a），问题就容易解决。因此要求一个数的相反数，只要在这个数前面叫上“-”，再化简即可。

多重符号的化简：
1、在一个数前面添加一个“+”好，所得的数与原数相同。
2、在一个数前面添加一个“-”号，所得的数就成为原数的相反数。
3、对于有三个火三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”号，可以把正号去掉，其次要看“-”号的个数，当“-”号的个数为偶数个时，结果取正，当“-”号的个数为奇数个时，结果取“-”号。 本文标题：定义新运算-定义新运算“*”，规则：a*b=a(a≥b)b(a＜b)，如1*2=2，(
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