一 : 2012量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集

量子力学期末试题及答案(A)

选择题（每题3分共36分）

1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C

A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；

B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；

C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；

D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。（www.61k.com）

2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B

A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；

???B. Ψ归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度；

C. Ψ一定是实数；

D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D

A. 偏振光子的一部分通过偏振片；

B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；

C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；

D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A

??A. 一定也是该方程的一个解；

??B. 一定不是该方程的解；

??C. Ψ 与 一定等价；

D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C

A. 粒子在势垒中有确定的轨迹；

B.粒子在势垒中有负的动能；

C.粒子以一定的几率穿过势垒；

D粒子不能穿过势垒。

6．如果以l表示角动量算符，则对易运算?[lx,ly]为：B

A. ih

lz? 1

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B. ih

?lz

? C.ilxlx?D.h

7．如果算符A 、B 对易，且A?

???? =A?，则：B ? 一定不是B 的本征态； A.

?一定是 B的本征态； B.

??C.一定是B 的本征态； ??

D. ∣Ψ∣一定是B 的本征态。[www.61k.com] ?

8．如果一个力学量 A与H 对易，则意味着A：C ???

A. 一定处于其本征态；

B.一定不处于本征态；

C.一定守恒；

D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B

A. 能量守恒；

B.动量守恒；

C.角动量守恒；

D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev，则 n=5能级能量为：D

A. -1.51ev;

B.-0.85ev;

C.-0.378ev;

D. -0.544ev

3

?11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且 l=N-2n，则在一确定的能量 (N+2

简并度为：B )h?下，

A.

1N(N?1)2； 2

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B. 1(N?1)(N?2)2；

C.N(N+1)；

D.(N+1)(n+2)

?s?

12．判断自旋波函数

A. 自旋单态；

B.自旋反对称态；

C.自旋三态；

D. 12[?(1)?(2)??(2)?(1)]是什么性质：C ?z本征值为1.

13.6eVn2 ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子二 填空题（每题4分共24分） 1．如果已知氢原子的电子能量为En??

能量为：———————————，光的波长为————

————————。(www.61k.com]

2．如果已知初始三维波函数??(r,0) ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 ?(p) =——

?(r,t)————————————。

'?————————（连续或不连续），它的导数?————————————，任意时刻的波函数为3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x0 ?点波函数

————————————（连续或不连续）。

4．如果选用的函数空间基矢为

?n ，则某波函数 ?处于 n态的几率用 Dirac符号表示为———

———————，某算符A 在 ?态中的平均值的表示为——————————。

??5．在量子力学中，波函数 在算符?操作下具有对称性，含义是———————————————

———————————，与 ?对应的守恒量 F??

一定是——————————算符。

6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是—

———————————————————。

三计算题（40分）

1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x<0或x>0,

3

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求粒子的能量和波函数。（www.61k.com](10分)

2．设一维粒子的初态为

3．计算

4 。4个玻色子占据3个单态

B卷

一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）

2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） ?(x,0)?Exp(ip0x/h)，求?(x,t)。（10分） ?z表象变换到?x表象的变换矩阵。（10分） ?1 ，?2，?3，把所有满足对称性要求的态写出来。（10分）

?和坐标x的共同本征函数。4、在一维情况下，求宇称算符P（6分）

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）

二、（15分）已知厄密算符A,B，满足

1、在A表象中算符???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且AA?、B?的矩阵表示； A

?的本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）线性谐振子在t

?0时处于状态 4

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?(x,0)?

1、在t???121??x(?2x2)??exp???2?3??，其中，求 ?0时体系能量的取值几率和平均值。(www.61k.com）2、t?0时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

?1??2?

?0???2??3??3?3?2???的本征值至?的二次项，本征矢至?的一次项。 2?0四、（15分）当?为一小量时，利用微扰论求矩阵

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

1??1(q1)?2(q2)??1(q2)?2(q1)?2

?,x]??2xP??和坐标x的对易关系是：[P4、宇称算符P，将其代入测不准关系知，只有当xP?0时?S?

?和x同时具有确定值，的状态才可能使P由?(x)??(?x)知，波函数?(x)满足上述要求，所以?(x)

?和x的共同本征函数。 是算符P

?和G的对易关系FG?GF5、设F????，k是一个算符或普通的数。以、???ik

??G??， ??F??，?G?F?、和依次表示F?和k在态?G中的平均值，令

222)?)?(?G(?F4则有 ，这个关系式称为测不准关系。

时间t和能量E之间的测不准关系为：

二、1、由于?t??E??2 ?的本征值是?1，因为在A表象中，算符A?的矩阵是对角矩阵，?2?1，所以算符AA

10??(A)????A???的矩阵是：?0?1? 所以，在A表象中算符A

b11b12??(A)????B?b?b?B??0得：b11?b22?0；由??B?A?2122??，利用A 设在A表象中算符B的矩阵是

5

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?0??b2?于B?1，所以?21

b12?

?0???0

??b?21

b12??b12b210?1?????1?b?12?0?b21b12?b21??0?，

1?

*?b12??b?1

12*

0?b12?

?是厄；由于B

?0

?1??

???B?，??b12密算符，B

b12??

??0??0???b*

??12

0?(A)????i?B?ei?

?b?e??12B令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：?0??i??e

?2、在A表象中算符B的本征方程为：?

ei????????

????????????0???????

ei??

?0??

?ei????????ei???0???

??i???????i??????e??e?????0 ?和????即? ? ?

??

行列式为零，即

?

B

不同时为零的条件是上述方程的系数

ei???

e

?i?

?0

? ?2?1?0 ????1

1?ei?

???

2??1对??1有：?1?ei???

????B???2??，对???1有：??1?

1?ei??1?ei??

???????2?1?和2???1?

?的本征值是?1，本征函数为所以，在A表象中算符B

?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B

e?i??

??1??

三、解：1、t?0的情况：已知线谐振子的能量本征解为：

1?ei?

?S?

2??1

?221?(x)?exp(??x)Hn(?x)nEn?(n?)??n

2n!2 (n?0,1,2?)，

当n

?0,1时有：

?0(x)?

??

exp(??2x2)?1(x)?(?x)exp(??2x2)2，

于是t于是t

?0时的波函数可写成：

?(x,0)?

12

0(x)?1(x)33，容易验证它是归一化的波函数，

?0时的能量取值几率为：

6

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1132

W(E0???,0)?W(E1???,0)?

23，23，能量取其他值的几率皆为零。[www.61k.com]

?

127

E0?E1???336

能量的平均值为：

2、

t?0时体系波函数

?(x,t)?

1i23i

0(x)exp(??t)??1(x)exp(??t)3232

显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故t均值与t

?0时体系能量的取值几率和平

?0的结果完全相同。

2?

?100??0

???020????2?

??0??H??H????003H???0四、解：将矩阵改写成：

能量的零级近似为：E1

(0)

(0)(0)

?1，E2?2，E3?3

?

3?

0??3??2???

(1)(1)(1)

E?2? E?0E??312能量的一级修正为：，，

E1(2)?

能量的二级修正为：

(2)

E2?

?2H12

(0)

E1(0)?E2

?

?2H13

(0)

E1(0)?E3

??4?2

，

?2H21

(0)

E2?E1(0)

?

?2H23

(0)

E2?E3(0)

?4?2?9?2??5?2

，

E3(2)?

?2H31E3(0)?E1(0)

?

?2H32

(0)E3(0)?E2

?9?2

所以体系近似到二级的能量为：E1

2

?1?4?2，E2?2???5?2，E3?3?2??9?

?1(0)

先求出

?H0属于本征值1、2和3的本征函数分别为：

?0??0??1?

??????(0)(0)??1??3??0???0??2

?0??1??0?

??，??，??，

利用波函数的一级修正公式

?k(1)??

i?k

?Hik

?i(0)

(0)(0)Ek?Ei

，可求出波函数的一级修正为：

?1(1)

?0??0??2???????(1)(1)

??2??1??2?3??1????0??3

??3??0??0???，??，??

7

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?1??2???0????????1???2???2??1??3??3??

?0???3???1???，??，?? 近似到一级的波函数为：

五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。(www.61k.com）以qi表示第i子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：

(1)(2)

???(q)?(q)?(q)???2(q1)?2(q2)?2(q3) s111213s（1）；（2）

(3)??C??1(q1)?1(q2)?2(q3)??1(q1)?2(q2)?1(q3)??1(q2)?2(q1)?1(q3)； s（3）

(4)

C[?2(q1)?2(q2)?1(q3)??2(q1)?1(q2)?2(q3)??2(q2)?2(q3)?1(q1)??（4）s?

(i?1,2,3)个粒

一、（20分）已知氢原子在t?0时处于状态

?1?2?0??1?1?(x,,0)??(x)??(x)?(x)

213??????

01333?????0?

其中，?n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

?0

将t

En??

?e41

2?2n2

，

n?1,2,3,? （1）

?0时的波函数写成矩阵形式

?1??x?x?

????2?333? （2） ?(x,0)???2?

??x??1??3??

利用归一化条件

?1**

c?dx??x?3?x??

??32

3???

2

?

?1??x?x??32?

?33???2*

???1?x?????32?????1?x??? （3）

3??

?124?272

?????c?c

9?999?

8

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于是，归一化后的波函数为

?(x,0)?

?1??

x??3?

x???x?x

32?

?3???2? （4） ??

??23?????1?

x????1?x???

能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为

W?E412

1,0??7;W?E2,0??7;W?E3,0??7

能量平均值为

E0?

47E?121

7E2?7

E3??e4?41 ?2???7?1?17?121?161?e424?7?9????504?2自旋z分量的可能取值为

??

2,?2

，相应的取值几率为

W???s??123?

??4z?2,0???7?7?7;W??

sz??2,0???7 自旋z分量的平均值为

s?3?4??7?2?7?????2????

?z014

t?0时的波函数

?i???(x,t)?exp????Ei??

2?

x?2t???3?

x?exp????E3t?????

????i??1?x?exp????E1t?????

二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动

?V0

?0?

??. x?0

V?x?????V, 0?x??0

a

?

0, x?a 9

5）

6）

7）

8）

9） （ （ （ （ （

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若已知该粒子在此势阱中有一个能量E

??

V02

的状态，试确定此势阱的宽度a。（www.61k.com)

解 对于?V0

?E?0的情况，三个区域中的波函数分别为

??1?x??0?

??2?x??Asin?kx??? （1）

???3

?x??Bexp???x?其中，

k?

2m(E?V0)

mE?

; ??

2?

利用波函数再x?0处的连接条件知，??n?，n?0,1,2,?。

在x

?a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

?2?a???3?a??

'

2

?a???'3?a?

得到

Asin?ka?n???Bexp???a?Akcos?ka?n????B?exp???a?

于是有

tan?ka???

k

?

此即能量满足的超越方程。

当

E??

1

2

V0时，由于

故

mV0?

a?n??

?

4

?n?1,2,3,?? 最后得到势阱的宽度

10

（2）

（3）

（4）

（5）

（6） 7）

（

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1?? ??

a??n??

4?mV0?

三、（20分） 证明如下关系式

（8）

????????（1）任意角动量算符j满足 j?j?i?j。(www.61k.com）

证明 对x分量有

????j?j??j?j=i??j

???j??j

x

yz

zy

x

同理可知，对

y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。

?n?nnp

是一个厄米算符，其中，

投影算符

?n?是任意正交归一的完备本征函数系。

?n的矩阵元为 p

证明

在任意的两个状态 而投影算符

?

与

?

之下，投影算符

?n??nn?p

?

?n?n的共軛算符pp的矩阵元为

*?*?n?n??p???p???p?n???

?nn?

*

???n????n????nn?

**

显然，两者的矩阵元是相同的，由利用

*

k

'

'

?

与

?

的任意性可知投影算符

?n是厄米算符。 p

?????x???x????x?x?证明?xp

k

k

xmn

?x?kn，其中，??k?x??为任??xmk?p

k

意正交归一完备本征函数系。 证明

11

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?x?mn?xp

?

?

?

??

?

*

?x?n?x??dx?m?x?xp?

???

??

*

?x?n?x??dx?m?x?x?dx'??x'?x?p

???

dx?

*

m

??

?x?n?x'???x?x?dx'??x'?x?p

'

???

?

??

???x???dx??x?x?dx???x???x?p

*

m

'

*k

'

'

k

??

k

x'

n

?

?

*m

'

k

*k

'

'

x

'

???x????dx??x?x??x??dx??x?p

n

k

??

??

???x?p

mk

x

k

2

kn

四、（20分） 在L与Lz表象中，在轨道角动量量子数l

??、L?1的子空间中，分别计算算符Lyx

?的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。(www.61k.com］ 与Lz

解 在L与Lz表象下，当轨道角动量量子数l皆为三维矩阵。

2

?与L?、L??1时，m?1,0,?1，显然，算符Lyxz

?是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有 由于在自身表象中，故Lz

?100?

???000? （1） Lz??

?00?1???

相应的本征解为

12

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?1???Lz??; ?1??0??0????0???Lz?0; ?0??1? （2）

??0??

?

L?0?

?0?

z???; ??1???1???

对于算符L?x、L?y而言，需要用到升降算符，即

L?x?1

2?L???L???

L?y?1?L?2i??L???

而

L??lm?,m?

当l?1,m?1,0,?1时，显然，算符L?x、L?y的对角元皆为零，并且，

?1L?x??1L?y?0

L?1,??L?1,??0

xy

只有当量子数m相差?1时矩阵元才不为零，即 ?1L?x1,0?L?x1,?1?L?x?L?x1,0?

L?y1,??L?y1,0?

?1L?y1,0?L?y?于是得到算符L?x、L?y的矩阵形式如下

13 3） 4） 5） 6） （ （ （ （

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?010??0?i0???101?; L??i0?i? （7） Lxy??010?0i0???

?Ly满足的本征方程为 ?0???i?i00??c1??c1???????i? ?c2????c2? （8） 2??0i0????c3????c3??

相应的久期方程为 ???i?

i20

??i?

2??

0i2?0

?

2??

将其化为

?3??2??0

得到三个本征值分别为

?1??; ?2?0; ?3???

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

?

?1??i??1??1??1??i??

1?2?2; ??0;

??2?? ?3??2?

?i??2??1??2???i??

L?x满足的本征方程为

?010?

101??

??

? ?c1??c1?

?c???c?

2?2?

010????c3????c3??

相应的久期方程为

14 （9） 10） 11） 12） 13） （ （ （ （

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

?? （14） ?0将其化为

得到三个本征值分别为

?3??2??0 （15）

?1??; ?2?0; ?3??? （16）

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

?1??1??1?

1?1?

?1?; ??0; ??? （17） 23?2?2????1?11?????

五、（20分） 由两个质量皆为

?、角频率皆为?

的线谐振子构成的体系，加上微扰项

???? xx（x,x分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、W1212

第二激发态能量至一级修正。(www.61k.com]

提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

1?n

mxn??m,n?1?

??2

式中，

?n?1

?m,n?1? 2?

??

??

?

。

解 体系的哈密顿算符为

其中

??H??W?H0

（1）

1222??1p??H?p???2x12?x20122?2

???? xxW

????

（2）

12

?的解为 已知H0

15

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其中

0En??n?1????n??x1,x2???n?x1??n?x2?12 （3） n1,n2,n?0,1,2,? （4） ??1,2,3,?,fn

将前三个能量与波函数具体写出来

E0

0???; ?0??0?x1??0?x2?

E0

1?2??, ?11??0?x1??1?x2?

?12??1?x1??0?x2?

E0?3??, ?

221??2?x1??0?x2?

?22??0?x1??2?x2?

?23??1?x1??1?x2?

对于基态而言，n1?n2?n?0，f0?1，体系无简并。[www.61k.com）

利用公式

1?nn?1?

mx?n????2m,n?1?2?m,n?1?

?

可知

E?1?

0?0??0?0

E?2?fn0??n?n???0

0???

n?0??1E0?E0

0n

显然，求和号中不为零的矩阵元只有

?

0??23?23??0??2?2

于是得到基态能量的二级修正为

2

E?2??1??2?

0E0?E04??23

024?8??

第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

16 5） 6） 7） 8） 9） （ （ （ （ （

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?1?

11?E2

W12

?1?

W22?E2

W13W23

?1?

W33?E2

W21W31

?0 （10）

W32

其中

W11?W22?W33?W12?W21?0

W13?W31?W23?W32? （11）

将上式代入（10）式得到

???E2

1

?

?

?E2

1

0?0 （12）

?1?

整理之，E2满足

于是得到第二激发态能量的一级修正为

?E2

??

?1?

3

?2?1?

?4E2?0 （13） ?

?1?E21??

???1??1?

; E?0; E?2223?2?2

（14）

1. 微观粒子具有 波粒 二象性。[www.61k.com]

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率?、波长?之间的关系，其表达式为： E=h?,

p=h/? 。

3．根据波函数的统计解释，(x,t)

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符

2

dx的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率 。

px的对易关系为：?x,p??i? 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数?(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，

17

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

?的 本征值 。(www.61k.com） 必定是算符F

7．定态波函数的形式为： ?(x,t)

8．一个力学量??n(x)e?iEnt?。 A9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

??10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： ? 。 2

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：

证明：

?,L?]?i?L?[Lxyz?,L?]?[yp?z?zp?y,zp?x?xp?z][Lxy?z,zp?x?xp?z]?[zp?y,zp?x?xp?z]?[yp?z,zp?x]?[yp?z,xp?z]?[zp?y,zp?x]?[zp?y,xp?z]?[yp?z,zp?x]?[zp?y,xp?z]?[yp?z,zp?x]?[y,zp?x]p?z?z[p?y,xp?z]?[z,xp?z]p?y?y[p?z,zp?x]?[z,xp?z]p?y?y[p?z,p?x]?y[p?z,z]p?x?x[z,p?z]p?y?[z,x]p?zp?y?yz[p?x?x(i?)p?y?y(?i?)p?y?yp?x]?i?[xp??i?Lz

18 2、（10分）由Schr?dinger 方程

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

证明几率守恒：

??22???i??(r,t)?[???V(r)]?(r,t)?t2???

????J?0?t

?

其中几率密度

????2?(r,t)??(r,t)?(r,t)?|?(r,t)|

几率流密度

?i?J?[?????????]

2?

证明：考虑 Schr?dinger 方程及其共轭式：

??(1)???(2)式得：将?

??22

i???[?2??V]???t?2???i???[??2?V]??

?t2?

?

(1)

(2)

????2

i????i?????[???2????2??]

?t?t2?

??2?

i???）???[?????????]?t2?

在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

d?2?

i??（??）d??dt?2?

??

??[?????????]d?

?

di??（??）d???dt??2?

????[???

?????]d?

??d

?(r,t)d??????Jd?

?dt??

??

????J?0?t

1、（10分）设氢原子处于状态 ?(r,?,?)

?

13

R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22

求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。［www.61k.com）

19

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

解：在此状态中，氢原子能量有确定值

E2???es2

2?n22???es28?2 (n?2)，几率为1

角动量平方有确定值为

L2??(??1)?2?2?2 (??1)，几率为1 角动量Z分量的可能值为

LZ1?0LZ2???

其相应的几率分别为

1

4

解：

， 3 4???i?L2、（10分）求角动量z分量 zdd???(?)??i?d?(?)?l?(?)Lzzd?解得：?(?)?ceilz?其中c是积分常数，亦可看成归一化系数。[www.61k.com)

波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：

?(?)??(??2?)?cel??z?cel(??2??z)e2?lz?2?m?l?z2??1于是m?0,?1,?2,??lz?m?m?0,?1,?2,?20

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

求归一化系数

最后，得 Lz的本征函数

设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。［www.61k.com]

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

E1 = 1 E2= 3 E3= -2

由非简并微扰公式

(1)

?E1??0?H11?(1)21

??0?E2?H22

?(1)

??c?E3?H33

(0) (0) (0)

?

2?

|?|2d??c2?

2?0

d?12?2?c2?1?c?

?lz?m?

??

??m(?)??

12e

im?

m?0,?1,?2,?

3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：

?1

?H??c

?0?

c30

??0?c?2??

?100?

??H0??030?

?00?2????0c0?

???H??c00??00c???

(1)

?En??Hnn?

?|2?(2)|Hkn

?En??E(0)?E(0)

k?nnk?

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

得能量一级修正：

能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：

2

?E1?1?1

c

?2?E2?3?2c?E??2?c

3?

E

(2)

1

??

k?n

?1|2?|2?|2|Hk|H31|H212

?(0)?(0)??2c(0)(0)(0)(0)

E1?EkE1?E2E1?E3?2|2?|2?|2|Hk|H32|H1212

???2c(0)(0)(0)(0)(0)(0)

E2?EkE2?E1E2?E3

E

(2)

2

??

k?n

E

(2)3

??

k?n

?3|2?|2?|2|Hk|H13|H23

?(0)?(0)?0(0)(0)(0)

E3?EkE3?E1(0)E3?E2

量子力学期末试题及答案（B）

一、填空题：

1、 2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义： 3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 4、 两个力学量对应的算符 二、简答题：

1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。（www.61k.com]

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？

答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？

答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率

22

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。［www.61k.com）

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1

、

23

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。(www.61k.com] 解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知

???U(r)?U(r) H0

其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即

?? U（0r）ze2

4??0r

U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域，

Ze2

U(r)?? 4??0r

在r?r0区域，U(r)可由下式得出，

24

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

U(r)??e?Ed r

r

?

Ze43Ze?1

???r?r, (r?r0)3?4??r2?r334??r?00003

E??

Ze? ( r ? r0)2

?4??0r?

U(r)??e?Edr?e?Edr

r

r0

r0

?

Ze2

??

4??0r03

?

r0

r

Ze2

rdr?

4??0

1?r0r2dr

?

Ze2Ze2Ze22222

(r?r)???(3r?r) (r?r0) ??0033

4??0r08??0r08??0r0?Ze2Ze222

(3r0?r)?(r?r0)??3? H??U(r)?U0(r)??8??0r0 4??0r

? 0 (r ? r 0)?

????H?(0)????2?U(r)，可视为一种微扰，由它引起 由于r0很小，所以H0

2?

2

一级修正为（基态?

(0)100

Z31/2?a0r?(3)e） ?a0

Z

*

???(0)d? E1(1)???1(0)H1

?

Z3

?3

?a0

?

?

r0

Ze2Ze2?a0r22

[?(3r0?r)?]e4?r2dr 3

4??0r8??0r0

2Z

∵r??a0，故e ∴ E

(1)

1

2Zra0

?1。(www.61k.com）

Z4e2

??33

2??0a0r0

?

r0

Z4e2

(3rr?r)dr?3

??0a0

20

2

4

?

r0

rdr

r05Z4e2Z4e225

(r0?)?r ??3330

52??0a0r02??0a0

25

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

Z4e2

2r ?3010??0a0

2Z4es22r0 ?35a0

?6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos?,cos?,cos?)的投影 S第三题 n

的本征值和本征函数。[www.61k.com]

? 表象，S?的矩阵元为 解：在Szn

??01???0?i???10???Sn???cos??2??i0??cos??2??0?1??cos? 102???????

cos?cos??icos??????S?n?? ?cos?2?cos??icos??其相应的久期方程：

??cos???(cos??icos?) 22?0 ??(cos??icos?)?cos??? 22即：

?2?2?222222 ??cos??(cos??cos?)?0???0444

222(利用cos??cos??cos??1)

? ??? 2

?的本征值为??。 所以Sn2 ?a?????(S)?设对应于的本征函数的矩阵表示为，S?1nn?? 22?b? cos?cos??icos???a???a????a(cos??icos?)?bc则 ??????? ???????cos?2?cos??icos???b?2?b?

cos??icos?b? 1?cos? 22?**?a???1????(a,b)?a?b11?b?由归一化条件得： ??2 cos??icos?2222a?

1?cos?a?1

26 1?cos?a?1

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

取 a??cos?cos??icos? ，得 b

? 22(1?cos?)??????1(Sn)

??2?(Sn)?0?1????1?2?同理可求得 对应于Sn??的本征函数为 2?1?cos??2??1(Sn)???cos??icos???2(1?cos?)???????

量子力学期末试题及答案(C)

一、填空题

1、黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。（www.61k.com)

2、索末非提出的广义量子化条件是??pdq?n?

?ipx?

????

x,t??3、一粒子有波函数由c?p,t?edp

描写，则c?p,t

?=

4

、粒子在势场U(r)5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。

6、氢原子的一级斯塔克效应中，对于n=2的能级由原来的一个能级分裂为３个子能级。 27

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

7、1925年，乌论贝克（Uhlenbeck

）提出每个电子具有自旋角动量S?y??z?y??z???z??y?0??8、Pauli算符的反对易关系式是

9、如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同粒子一定是费米子

10、在两个电子的对称自旋态?S?1???2?2中，S的本征值是2? 二、选择题

6、么正矩阵S的定义是为（Ａ）

AS?S BS?S

CS?S DS?S

7、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即

，??t???HH0??H???????，其中H0和H应满足的条件是（ Ｂ ） ??，

AH0与时间无关，H与时间无关 BH0与时间无关，H与时间有关CH0与时间有关，H与时间有关 DH0与时间有关，H与时间无关

8、自旋量子数S的值为（ ）

A 1/4 B 3/4

C /2 D 1/2 ??，??，??，??，

?9、Pauli算符的x分量的平方?的本征值为（ Ｂ ）

A 0 B 1

C i D 2i

10、电子自旋角动量的幺分量，算符2S幺表象中的矩阵表示为（ Ｃ ）

????10?????01?SS????幺幺01??10?22?? A B

??i??10?S??幺0?1?2?

D

三、证明题

28

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

１、若体系的归一化波函数形式为:

?i??i???x,t????x?exp??E1t????x?exp??E2t??E1?E2???????

求系统的几率分布，并证明它并不处于定态。(www.61k.com］

证明：

２、证明厄米算符的本征值为实数。

３、定义????1???,?????????x?i?y??幺?2，证明? ??

四、计算题

1、求在一维势场U?x????,x?a0,x?a中运动的粒子的能级。

解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼U?x????,x?a0,x?a ?2d2???E?x?a22mdx在阱内体系满足的定态薛定谔方程是为方便起见， ?2mE????2????引入符号12d2?2????0,x?a2???则上式可简写为dx

x?a???a??0它的解是：??Asin?x?Bcos?x，将

29

量子力学答案 2012量子力学期末考试试卷及答案集

n??2?2n2

En?,n?正整数?a?,n?1,2,3....2???8ma2代入上式有：同时综合式得

2、设一体系未微扰作用时只有两个能级E01及E02，其中E01?E02，现在受到微扰H的?，

?,??ba?H??ab??作用，微扰矩阵为，且ａ，ｂ都是实数。（www.61k.com)用微扰公式求能量至二级修正值。

?,??ba?H???1??1?,,ab?E?H?b,E?E?b ?111222解：将代入能量修正公式，得到一级修正

E1

和二级修正?2??H21,020E1?E2aa2?2??,E2?0?0E01?E02E02?E01E2?E12H12,2

a2a2

E1?E01?b?,E2?E02?b?E?EE02?E01 0102因此能量的二级修正值为

3、设处于

4无限深的势肼中的粒子的态为??x,t?0????x??2?x?x?ia?n0??o????s?a??a?试求：（１）测量粒子的能量的可能值和

相应的几率；

（２）能量的平均值。

30

二 : 2014年二年级数学上册期末试卷及答案

一、填空。［www.61k.com](28分)

1、1米=( )厘米 45厘米-6厘米=( )厘米

37厘米+5厘米=(　　)厘米　 　23米-8米=( )米

2、6个3相加，写成乘法算式是( )，这个式子读作

( )。

3、在下面的( )里最大能填几?

( )×6<27 ( )<3×7

4×(　　　)<15 35>7×( )

4、在算式4×7=28中，4是( )，7是(　　)，28是( )。

5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。

八九( ) ( )二十四

6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做( )颗。

7、一把三角板上有( )个角，其中( )个是直角。

8、算得积是18的口诀有(　　　　　　　)和(　　　　　　　)。

9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“<”、“>”、“=”。

8○6=48 36○73-37 9×7○65

2○2=4 43○6×7 18○9=9

二、判断。(5分)

1、9个相加的和是13。 ( )

2、小强身高大约是137厘米。 ( )

3、角都有一个顶点，两条边。 ( )

4、计算48+29，得数大约是70。 ( )

5、1米和100厘米一样长。 ( )

三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里，5分)

1、5个3相加是多少?正确的列式是(　　　　)

A、5+5+5=15 B、5+3=8 C、5×3=15

2、用2、6、0三个数字组成的两位数有(　　　　)个。

A、2　　　　　B、4　　　　　C、6

3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩( )元。

A、22 B、30 C、20

4、5+5+5+4，不可以改写成算式( )。

A、5×4 B、5×3+4 C、4×5-1

5、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱( )次。

A、3次 B、4次 C、6次

四、计算。(26分)

1、用竖式计算。(15分)

90-47= 59+26= 63-28=

37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=

2、列式计算。(8分)

(1)5个6相加，积是多少? (2)9的3倍是多少?

(3)一个因数是9，另一个因数是7，积是多少?

(4)比67多29的数是多少?

五、画一画。(8分)

1、请在横线上画 表示下面算式的意义。

5×2

3×4

2、以给出的点为顶点，画一个比直角大的角，并写出它各部分的名称。

·

3、画一条比3厘米长4厘米的线段。

六、数学广角。( 3 分)

桌子上有钢笔、尺子、笔盒三种学具，三个人每人拿一种学具。

小芳：我拿的不是笔盒。 小华：我拿的是尺子。 小飞：我拿的是……

小芳拿的是( )，小飞拿的是( )，小华拿的是( )。

七、用数学。(28分)

1、丽丽每天写8个大字，一个星期能写多少个大字?(4分)

2、我买5支玩具枪和1辆玩具汽车，一共要多少钱?(5分)

9元 7元

3、三年级植了8棵树，四年级植的树比三年级多15棵，五年级植的树是三年级的3倍。(9分)

(1)四年级植了多少棵树?

(2)五年级植了多少棵树?

(3)三个年级一共植了多少棵树?

4、 根据表中的信息，制成统计图。(10分)